Деление окружности. 
Занимательная геометрия

Радиолюбителям, конструкторам, строителям разного рода моделей и вообще любителям мастерить своими руками иной раз приходится задумываться над такой практической ЗАДАЧЕЙ Вырезать из данной пластинки правильный многоугольник с заданным числом сторон.

Эта задача сводится к такой:

разделить окружность на п равных частей, где п — целое число.

Оставим пока в стороне очевидное решение поставленной задачи при помощи транспортира — это всс-таки решение «на глаз» — и подумаем о геометрическом решении: при помощи циркуля и линейки.

Прежде всего возникает вопрос: на сколько равных частей можно теоретически точно разделить окружность при помощи циркуля и линейки? Этот вопрос математиками решен полностью: не на любое число частей.

Можно: на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17,…, 257,… частей.

Нельзя: на 7, 9, 11, 13, 14,… частей.

Плохо еще и то, что нет единого способа построения; прием деления, допустим, на 15 частей не такой, как на 12 частей, и т. д., а все способы и не запомнишь.

Практику нужен геометрический способ — пусть приближенный, но достаточно простой и общий для деления окружности на любое число равных дуг.

В учебниках геометрии, к сожалению, еще не уделяют этому вопросу никакого внимания, поэтому приведем здесь один любопытный прием приближенного геометрического решения поставленной задачи.

Пусть, например, требуется разделить данную ок.

Рис. 148. Приближенный геометрический способ деления окружности на п равных частей ружность (рис. 148) на девять равных частей. Построим на каком-либо из диаметров АВ окружности равносторонний треугольник ЛСВ и разделим диаметр АВ точкой D в отношении AD: АВ = 2: 9 (в общем случае AD :АВ = 2: п).

Соединим точки С и D отрезком и продолжим его до пересечения с окружностью в точке Е. Тогда дуга АЕ будет составлять при;

1, * Г_Г 360°.

мерно — окружности (в общем случае АЕ =-) или.

9 п

хорда АЕ будет стороной правильного вписанного девятиугольника (/1-угольника).

Относительная погрешность при этом около 0,8%.

Если выразить зависимость между величиной центрального угла АОЕ, образующегося при указанном построении, и числом делений п, то получится следующая точная формула:

которую для больших значений п можно заменить приближенной формулой.

С другой стороны, при точном делении окружности на п равных частей центральный угол должен быть равен 360° 360°.

-. Сравнивая угол — с углом АОЕ, получим вели;

п п

чину погрешности, которую мы делаем, считая дугу АЕ 1.

— частью окружности. п

Получается такая таблица для некоторых значений п.

Как видно из таблицы, указанным способом можно приближенно разделить окружность на 5, 7, 8 или 10 частей с небольшой относительной ошибкой — от 0,07 до 1%; такая погрешность вполне допустима в большинстве практических работ. С увеличением числа делений п точность способа заметно падает, т. е. относительная погрешность растет, но, как показывают исследования, при любом п она не превышает 10%.