Физический смысл использования мнимых чисел

Но почему там же появляется кажущийся несколько загадочным значок i =? Посредством г записываются так называемые мнимые числа. Неужели в квантовой механике присутствует некая мистика? Смысл рассматриваемой ситуации определяется, разумеется, не мистикой. Дело в том, что в квантовой механике подсчитываются вероятности наступления некоторых событий, в связи с чем используются квадраты чисел. Но квадрат как положительного, так и отрицательного числа является числом положительным. Но некоторые вероятности погашают друг друга. В этой связи нужны такие числа, квадраты которых являются отрицательными числами. Для этой цели как раз и подходят мнимые числа. Сравните три случая: 5² = 25; (-5²) = 25; (5/) = -25.

В показателе волновой функции энергия группируется со временем, а импульс — с координатой (протяженностью). Такая избирательность физических параметров присутствует уже в классической физике.

Более нетривиальное обстоятельство состоит в том, что в квантовых процессах специфическим образом приходится учитывать все возможности, имеющиеся в той или иной ситуации. Поясним сказанное таким примером. Допустим, что пластинка обладает п > 2 щелями. Даже если экспериментатор будет пытаться направлять частицы исключительно по направлению избранных щелей, тем не менее придется сопоставить каждой щели свою волновую функцию. Это обстоятельство фиксируется принципом суперпозиции:

где q, с₂, с_п — произвольные числа, выбор которых определяется лишь условием нормировки амплитуды вероятности.

Принцип суперпозиции свидетельствует о том, что волновая функция |/ является функцией всех переменных, входящих в уравнение (2.11) Иначе говоря, она является сложным системным образованием. Правило нормировки представлено уравнением.

Его физический смысл состоит в том, что речь идет о частице, которая с определенной долей вероятности может проявиться в избранном для рассмотрения объеме.

Продолжим описание оснований квантовой механики. К любой теории предъявляется требование концептуального оправдания измерений. В квантовой механике любому физическому параметру соответствует некоторый оператор.

Запишем операторы (выражения с крышечками) соответственно координаты х и импульса р по оси х.

и.

Действие оператора на волновую функцию равно произведению его собственного значения а на волновую функцию:

Уравнение (2.15), а оно является не чем иным, как физическим законом, поражает своим высоким информационным содержанием, заключенным в необычайно лаконичную формулу. Налицо исключительный триумф физиков.

Знаменитое уравнение Шрёдингера получают, написав уравнение (2.15).

Л для оператора полной энергии Н:

Отметим также, что если два оператора не коммутируют друг с другом, т. е.

то соответствующие им величины связаны друг с другом соотношениями неопределенностей. Одним из таких соотношений является формула Гейзенберга:

Из рассматриваемого уравнения следует, что при одновременном измерении х и р_х им непременно присущи неопределенности. В случае если процесс измерения позволяет уменьшить неопределенность одной из двух величин, возрастает неопределенность другой.

Для оценки статуса квантовой механики крайне существенно, что из принципа стационарного действия следуют все уравнения движения. Таким образом, квантовая механика получает динамическое истолкование.

Уважаемый читатель! Эта книга предназначена для студента-гуманитария, для которого математическая форма записанных уравнений, скорее всего, непонятна. Заметим, что от него не требуется углубленное их понимание. Но известное представление о них желательно иметь. Оно сводится к следующим выводам.

Выводы.

• • Физики, идя от одного успеха к другому, тем не менее столкнулись с необычными явлениями, которые они небыли в состоянии объяснить посредством принципов, законов (уравнений) и переменных электродинамики Максвелла — Эйнштейна.
• • Целенаправленный поиск привел физиков к решающему успеху в 1925 г. Они изобрели новую теорию, квантовую механику. В результате им удалось придать физическим знаниям невиданную ранее степень согласованности и последовательности.
• • Главным концептом квантовой механики стало понятие волновой функции.
• • Главным законом квантовой механики является уравнение Шрёдингера.
• • Основополагающим принципом квантовой механики является принцип наименьшего действия.
• • Исключительно актуален также принцип суперпозиции волновых функций.