Упражнения. 
Эконометрика

Решение типовых задач

ТЗ 1.1. Вычислите для парной линейной регрессии значения коэффициентов детерминации R² и корреляции г, если известно, что л = 30,.

Проверьте значимость г . Вычислите коэффициенты выборочной парной линейной регрессии. Проверьте статистическую значимость коэффициента Ь. Постройте для него доверительный интервал. Постройте прогноз для значения х_р = 17 и доверительные интервалы прогноза.

Решение

Для вычисления коэффициента детерминации воспользуемся определением:

Так как R² =, то.

Для проверки статистической значимости коэффициента корреляции вычислим значение / -статистики коэффициента корреляции:

По таблице распределения Стьюдента с 28 степенями свободы и для уровня значимости 5% определяем критическое (табличное) значение: (пинь =2,0484. Так как /_г >t_ma6i9 то гипотезу Н₀: р_)Л =0 следует отклонить и, следовательно, признать коэффициент r_vv статистически значимым.

Для нахождения коэффициентов выборочной парной линейной регрессии воспользуемся формулами связи коэффициентов с выборочными характеристиками:

и.

Для того чтобы проверить статистическую значимость коэффициента регрессии, прежде всего необходимо вычислить значение выборочного остаточного среднего квадратического отклонения:

Теперь можно определить стандартную ошибку коэффициента: с помощью которой находим соответствующую / -статистику.

Так как t_h >t_maSa (значение как и раньше, взято из таблицы распределения Стьюдента при 28 степенях свободы и уровне значимости 5%), то гипотезу //₍₎: /? = О следует отклонить и, следовательно, признать коэффициент Ь статистически значимым.

Левая граница доверительного интервала для этого коэффициента, соответствующего уровню значимости 5%, имеет значение Ь~^тьКию, *18,63, правая граница — b + m_bt_{m (tiii} «29,28.

Прогноз для значения х =17 вычисляется непосредственной подстановкой этого значения в уравнение регрессии:

Стандартная ошибка прогноза функции регрессии (среднего значения).

а стандартная ошибка прогноза индивидуального значения.

Тогда доверительный интервал прогноза среднего значения, соответствующий 5%-ному уровню значимости, имеет левую границу, равную У" — ^тЕ,(у) «519,09. и правую границу- у_р +m_EAy)t_m^ «601,06. Левая граница доверительного интервала прогноза индивидуального значения Ур-Му,&#, ^а428>⁸⁹• ^пР^авая граница- y, + m_fit_moS,*>691,26.

Задании для самостоятельного решения

1.1. По выборке объемом 10 наблюдений получены следующие результаты:

. Оцените коэффициент корреляции г. Проверьте его значимость.

1.2. Вычислите коэффициент корреляции, проверьте его статистическую значимость:

1.3 По выборке объемом 10 наблюдений получены следующие результаты:

. Оцените по методу наименьших квадратов коэффициенты парной линейной регрессии у на х.

• 1.4. Вычислите коэффициенты выборочной парной линейной регрессии, если известно, что =26,5, .7 = 21, у-112,45, S*=64, S* = 225, >_V=°, 8.
• 1.5. По имеющимся данным оцените параметры парной линейной регрессионной зависимости у = а + pt:

1.6. Вычислите для парной линейной регрессии значения коэффициентов детерминации R¹ и корреляции r_xv если известно, что /7 = 100,.

11ровсрьтс значимость г .

*У

1.7. Вычислите для парной линейной регрессии значения коэффициентов детерминации R² и корреляции г^., если известно, что /7 = 100,.

Проверьте значимость г .

• 1.8. Проверьте значимость выборочного коэффициента корреляции = 0,92, если известно, что п = 27,5_{ХТО = 120 000,7 = 171,7 = 28.
• 1.9. Проверьте значимость и постройте доверительные интервалы для коэффициентов парной линейной регрессии (в таблице приведены результаты расчета с помощью функции ЛИНЕЙН):

1.10. Постройте доверительный интервал прогноза условного математического ожидания (функции регрессии), если известно, что *^=20,.

х = 10,83, S² = 19,8, (в таблице приведены результаты расчета с помощью функции ЛИНЕЙН):

1.11. Постройте доверительный интервал прогноза индивидуального значения, если известно, что х_р =20, х = 10,83, S² =19,8, (в таблице приведены результаты расчета с помощью функции ЛИНЕЙН):