Фиксированные точки и периодические орбиты. 
Бифуркации

Обычные и дискретные логистические модели, введённые выше для моделирования поведения трудноформализуемых объектов, могут появляться и при моделировании некоторых динамических систем, в отношении которых в науке давно установилось понятие лапласовского детерминизма. В соответствии с этим понятием динамические законы позволяют однозначно предсказать поведение системы в будущем при условии задания ее состояния в некоторый начальный момент времени — ее начального состояния.

Уже простые динамические модели, в частности, описываемые логистическими уравнениями, приводят к выводу о существовании у систем весьма экзотических свойств, необъяснимых с позиций лапласовского детерминизма. Появились такие новые понятия, характерные для нелинейных систем, как бифуркации и динамический хаос, обсуждению которых посвящены данный и следующий за ним подразделы.

Мы начнем с рассмотрения различных типов фиксированных точек и циклов у дискретной логистической модели, свойства которых определяются поведением близких к ним орбит. Рассмотрение основывается на методе графического итерирования, суть которого заключается в следующем. Возьмем некоторое начальное значение Xq на’оси х и проведем вертикальную линию через х₀ до пересечения ее с графиком некоторой заданной функции F (x) в точке (х₀, F (x₀)) (рис. 1.33). Далее проводим горизонтальную линию из этой точки до пересечения ее с прямой у = х в точке с координатами (F (xo), /^г(*ь)), поскольку значение y = F (x₀) на горизонтальной линии постоянно. Эта точка, как и точка с координатами (х₀, Хо), принадлежит орбите Xq.

Продолжая построение подобным образом (см. рис. 1.33), мы получаем последовательность точек на прямой х = у, принадлежащих орбите Xq. Стрелками показано направление соответствующих такому построению итераций уравнения.

Рис. 1.33.

Рис. 1.34.

На рис. 1.34 показано графическое итерирование в случае функции F (x) = х² -0,7 при начальном условии х₀ < 1,4. Видно, что в этом случае существуют две фиксированные точки, соответствующие пересечению графиков F (x) и прямой у = х, причем орбита Хо = 1,4 идет от одной фиксированной точки к другой.

Важным типом орбит дискретных моделей являются циклы. Говорят, что начальное значение х₀ принадлежит циклу с периодом п, если F" (х₀) = х₀. При этом орбита соответствует последовательности точек.

Графическое итерирование позволяет визуализировать циклы без явного численного решения итерационного уравнения. Из рис. 1.35 видно, что точки х₀ =0 и х^ =-1 лежат на цикле с периодом 2 для функции F (x) = x² -1, поскольку F (0) = -1 и F (-l) = 0. На этом рисунке цикл изображается квадратом. На рис. 1.36 показана орбита, стремящаяся к этому циклу.

Как мы видели в предыдущем подразделе, дискретное логистическое уравнение обладает циклами с разными периодами. На рис. 1.37 показаны такие циклы, получаемые методом графической итерации для ₅ и С помощью изложенного метода легко понять принятую классификацию фиксированных точек и циклов. Различают притягивающие (или устойчивые), отталкивающие (неустойчивые) и нейтральные фиксированные точки. Фиксированная точка х₀ называется притягивающей, если вблизи х₀ существует интервал, в котором все входящие в него орбиты остаются внутри интервала и стремятся к х₀ при выполнении итераций в соответствии с уравнением (1). Отталкивающей фиксированная точка х₀ называется в том случае, когда вблизи нее существует интервал, в котором все присутствующие там орбиты покидают этот интервал при итерациях в соответствии с (1). Фиксированная точка х₀, не являющаяся ни притягивающей, ни отталкивающей, называется нейтральной.

В случае линейной функции F (x) = kx точка х₀ = 0 всегда является фиксированной точкой. Методом графического итерирования легко убедиться в том, что при |&| < 1 точка х₀ = 0 притягивает все орбиты, в то время как при |?| > 1 эта точка является отталкивающей. При k = 1 все точки являются фиксированными, а при к — -1 все ненулевые точки соответствуют циклу с периодом, равным 2. Эти свойства позволяют легко понять то, что происходит в случае нелинейных функций F (x) все сказанное остается в силе, по крайней мере, вблизи фиксированных точек. Действительно, если х$ — фиксированная точка и |/^r'(xb)| < 1, то вблизи Xq касательная к графику F (x) имеет наклон, меньший единицы по абсолютной величине, и точка Хо является притягивающей. Аналогично, при F'(xo) > 1 все проходящие близко к х₀ орбиты отталкиваются от нее, и точка х₀ является отталкивающей. Нейт;

Рис. 1.37 64.

ральные фиксированные точки могут существовать только при.

Fxо) = ±Ь Поясним условие устойчивости фиксированной точки х₀ подробнее. С помощью уравнения (1) имеем.

причем х₀ = /Хх^).

Из уравнения (2) следует, что изменение Ах_п+1 в результате (л + 1)-й итерации есть.

Отсюда следует, что х_п 0 при iF’C^o)! < 1.

Рассмотрим теперь фиксированные точки логистического уравнения, определяемые соотношением (10) из подразд. 1.7:

Вычисляем Ц (х) = к- 2 кх, L'_k(0) — к и убеждаемся, что Xq = 0 является притягивающей точкой при 0 < к < 1 и отталкивающей при к > 1. Аналогично,.

поэтому х₀ = (к -1 )/к является притягивающей при выполнении условия -1 < 2 — к < 1, т. е. при 1 < к < 3. При к > 3 эта точка является отталкивающей. На рис. 1.38 показано графическое итерирование логистического уравнения при к = 0,5 и к = 2.

Периодические орбиты (циклы) также могут быть притягивающими, отталкивающими и нейтральными. Притягивающие циклы часто называют аттракторами или предельными циклами.

Если точка Xq лежит на цикле с периодом п некоторой заданной функции F, то график Fⁿ пересекает прямую у = х ъ точке с координатами (х₀, х₀). Другими словами, Fⁿ обладает фиксированной точкой х₀. Поэтому такой цикл естественно назвать притягивающим, отталкивающим или нейтральным в зависимости от того, какой явится фиксированная точка для Fⁿ.

Например, функция F (x) = х² -1 имеет цикл с периодом 2 для х = 0 и х = -1. Поскольку F²(x) = (х² -1)² -1 = х⁴ — 2х², то (F²)'(x) = 4х³ -4х; поэтому (/^г2)^/(0) = 0, и точка Xq = 0 принадлежит притягивающему циклу с периодом 2 (аналогично для х = -1).

Для того чтобы продолжить рассмотрение циклов, необходимо ввести некоторые новые понятия. Поэтому теперь мы перейдем к рассмотрению так называемой бифуркации (или ветвления), которая представляет собой явление увеличения количества и изменения типа устойчивости решений некоторого нелинейного уравнения в случае, когда изменяются значения каких-либо параметров, входящих в уравнение. Бифуркация возможна как в случае дифференциальных, так и конечно-разностных уравнений. Нахождение решений нелинейных уравнений представляет собой непростую задачу, поэтому проведем рассмотрение следующим образом. Предположим, что известно какое-либо решение уравнения для определенного значения входящего в уравнение параметра Л = Л₀ и необходимо найти решения для, А = А₀ + АЛ. Например, можно рассмотреть химическую реакцию, в которой скорость dxjdt изменения некоторой характеристики зависит от ее значения х и от внешних условий, характеризуемых параметром А. В результате приходим к уравнению.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

В реальных случаях химических реакций решение этого автономного уравнения х (/) стремится к некоторому постоянному значению х* при t -" °° В принципе могут существовать несколько различных значений х*, х* и т. д. Стационарное состояние определяется уравнением которое и определяет значения х*, х*,… В зависимости от начальных условий, решение с ростом времени стремится к одному из значений х* Решение уравнения (4) нетрудно найти, когда функция F (x, А) представляет собой полином второй или третьей степени. Для более сложных функций возможен другой путь.

бб Новое стационарное состояние удовлетворяет условию поэтому в случае достаточно малых Ах и АХ из (5) следует.

Пусть нам известно какое-либо решение уравнения (4) для Х = Х₀. Для нахождения решения в случае X = Х₀ + АХ воспользуемся разложением в ряд Тейлора:

Из соотношения (7) вытекает, что при ненулевых значениях производной dF (x*₉ Я₀/Элг) можно приближенно найти новое стационарное состояние (рис. 1.39). Такое состояние будет одно, а следовательно, в точке х* не происходит бифуркации. Но если в точке х*

то в разложении (5) следует учесть следующий член. Если при этом.

то вместо (7) получаем.

Рис. 1.39.

Ситуация теперь совершенно иная (рис. 1.40). Если с > 0, то при X > Х₀ существуют два решения, но при X < Х₀ нет ни одного.

Рис. 1.40.

Если оказывается равной нулю и вторая производная:

то нужно учитывать следующие члены в разложении (5). Если хотя бы одна из вторых производных не равна нулю, то типичные бифуркации могут быть такими, как показано на рис. 1.41.

Теория бифуркаций позволяет выяснить не только число решений (4), но и устойчивость каждого из них. На рис. 1.40 и 1.41 сплошными линиями показаны устойчивые стационарные состояния, а пунктирными — неустойчивые.

На рис. 1.42 приведено пояснение возможности появления новых решений — бифуркаций. В случае, показанном на рис. 1.42, а, число корней функции F (x, X) не изменяется при малой деформации кривой. В случае, приведенном на рис. 1.42, б, уравнение F (x, Х) = 0 имеет два решения, но уравнение F (x, А) + е = 0 — только одно (рис. 1.42, в), а уравнение F (x_y А)-е = 0 — три решения, сколь бы малым ни было положительное число е.

Кроме бифуркаций состояний равновесия в динамических системах при изменении параметра может происходить еще одна перестройка — из особой точки может возникнуть предельный цикл. Ее называют бифуркацией Хопфа.

В качестве примера рассмотрим систему уравнений:

Рис. 1.42.

где г и ф — полярные координаты, так что.

При X < О в системе имеется одна устойчивая особая точка. Когда X становится положительным, особая точка теряет устойчивость, и возникает устойчивый предельный цикл, радиус которого равен Этот цикл определяет асимптотику всех решений при t -" °° независимо от значений начальных условий х (0) и j>(0) (рис. 1.43).

Бифуркации различных типов возможны и в дискретных динамических моделях, где они могут приводить к появлению и исчезновению фиксированных точек и циклов или к изменению их типов. Одним из наиболее интересных типов бифуркаций в дискретных динамических системах является бифуркация с удвоением периода. Такая бифуркация приводит к появлению нового цикла с периодом, вдвое превышающим период исходного цикла.

Рассмотрим такие бифуркации для дискретного логистического уравнения с функцией.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 1.43.

Как мы видели выше, предельная точка Xq = {к -[)/к является притягивающей при 1 < к < 3 и отталкивающей при к > 3. При к — 3 производная L'_k в этой точке равна -1, а при к > 3 L'_k становится меньше -1.

Поэтому при значении к = 3 естественно ожидать появления бифуркации с удвоением периода. Это подтверждается результатом графической итерации, показанной на рис. 1.44 для Lifi (x) и Lj₂(*)^: при? = 2,8 орбита стремится к фиксированной точке,.

Рис. 1.44.

которую можно считать циклом с периодом 1, а при к- 3,2 — к устойчивому циклу с периодом 2.

Для достаточно больших п будет справедливо:

где д, = L_k(a₂ а₂ = 1+(а_х).

При дальнейшем увеличении к возникает новый цикл с периодом 4, т. е. происходит удвоение периода предыдущего цикла:

где а₂ = L_k(a_x д₃ = L_k(a₂), а₄ = L_k(a₃), д, = L_k(a₄).

На рис. 1.45 показан результат графического итерирования дискретного логистического уравнения для к= 3,5, при котором происходит очередная бифуркация с удвоением периода — появлением устойчивого цикла с периодом 4. Продолжая увеличивать к,.

Рис. 1.45 70.

мы придем к появлению циклов с периодом 8, 16, 32 и т. д. При этом каждый раз предыдущий цикл теряет устойчивость, а устойчивым становится новый появившийся цикл. Наконец, при некотором значении к (обозначаемом через к") возникает уже непериодическая последовательность.

Подведем некоторые итоги. В достаточно простой модели, описываемой логистическим уравнением, возможно достаточно сложное поведение, в котором удается проследить большое количество бифуркаций с удвоением периода. Отметим еще раз, что эта модель может соответствовать не только трудноформализуемым объектам, но и определенным динамическим системам.

Задачи и упражнения

• 1. С помощью графической итерации убедитесь в справедливости сделанных выше утверждений относительно характера фиксированных точек х₀ = 0 для уравнения х = F (x) при F (x) = кх.
• 2. Покажите, что в случае F (x) = х² + х имеется фиксированная точка Xq =0, причем F) = 1. С помощью графической итерации убедитесь, что эта точка является нейтральной: она притягивает орбиты, приходящие слева, и отталкивает орбиты, приходящие справа.
• 3. Покажите, что в случае F (x) = х³ + х имеется фиксированная точка х₀ = 0, причем F0) = 1. Определите характер этой точки с помощью графической итерации.
• 4. Покажите, что в системе, описываемой системой уравнений (12), возможен предельный цикл с радиусом при X > 0.

Литература

: [5], [22].