Распределенные дифференциальные модели

Уравнение реакция — диффузия

Активные кинетические среды в живых системах

Все биологические системы, в частности биологически активные мембраны и ткани, сообщества живых организмов, относятся к классу активных распределенных систем, основные свойства которых следующие:

• • существует распределенный источник энергии или веществ, богатых энергией;
• • каждый элементарный объем среды находится в состоянии, далеком от термодинамического равновесия, т. е. является открытой термодинамической системой, в которой диссипирует часть энергии, поступающей из распределенного источника;
• • связь между соседними элементарными объемами осуществляется за счет процессов переноса.

Благодаря этим свойствам биологические системы обладают рядом нетривиальных типов поведения, составляющих сущность живых систем. Исследование простейших моделей активных сред показало, что сложное пространственно-временное поведение систем может быть описано системами нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных вида:

где Da и D_tJ (г ф j) — коэффициенты диффузии и взаимной диффузии; Fi — нелинейные функции, описывающие взаимодействие компонентов.

В зависимости от вида функций F, и коэффициентов диффузии Dij в уравнении (6.1) в системах реакция —диффузия могут возникать следующие нетривиальные типы поведения переменных [Ю. М. Романовский, Н. В. Степанова, Д. С. Чернавский, 1984; 2004]:

• 1) распространяющиеся возмущения в виде бегущего импульса;
• 2) генерация волн автономными источниками импульсной активности. В качестве источников волн могут выступать либо неоднородности среды, вызванные отклонением значений параметров системы из-за механических или других повреждений, либо локальные кратковременные флуктуации переменных (источники типа «ведущий центр»);
• 3) стоячие волны;
• 4) синхронные автоколебания во всем пространстве. Синхронизация происходит с частотой того элемента пространства, который обладает наименьшим периодом колебаний;
• 5) квазистохастические волны, которые могут быть связаны с динамическим хаосом в локальной системе, но могут и возникать в распределенной системе с устойчивыми локальными элементами;
• 6) стационарные неоднородные распределения переменных в пространстве — диссипативные структуры.