Статистическое описание динамических систем

В этом подразделе мы обоснуем принципиальную возможность и рассмотрим общие схемы перехода к сокращенному описанию динамической системы многих частиц на пути построения иерархии моделей по принципу «сверху вниз». Наиболее естественный путь такого перехода может опираться на идеи современной статистической физики, обосновывающей существование различных стадий эволюции сложных систем. Для этого рассмотрим кратко переход от полного динамического описания системы к ее полному статистическому описанию.

Рассмотрим систему, обладающую определенной динамикой. Это означает, что существует набор динамических переменных * = (*!, х₂, …, х_я), которые удовлетворяют уравнениям движения.

где f — заданные функции набора переменных х и времени t. Решая задачу Коши для системы уравнений (1), т. е. находя решения при начальных условиях.

получаем полное динамическое описание изучаемой системы:

Несмотря на то что полное динамическое описание системы, даваемое соотношениями (3), является модельным в широком смысле, будем называть это описание «точным», сохраняя название «модельное» для сокращенного описания. Для достаточно сложных динамических систем многих частиц точное описание практически не может быть реализовано. Однако само существование динамических уравнений (1) накладывает определенные ограничения на вид и форму сокращенного описания системы даже в тех случаях, когда конкретный вид этих уравнений неизвестен.

В случае классических гамильтоновых систем полный набор динамических переменных состоит из набора обобщенных координат {q,} и обобщенных импульсов {/>,}, удовлетворяющих системе канонических уравнений Гамильтона:

где H (q_u …, q_n, Р, …, р_пу t) — функция Гамильтона рассматриваемой системы. Аналогичные соображения могут быть развиты и для квантовых систем. Однако, вообще говоря, система динамических уравнений (1) может и не иметь гамильтонова вида, особенно при рассмотрении свойств биологической или какой-либо иной природы.

Основные принципы создания моделей, реализующих сокращенное описание динамических систем, могут базироваться на основных положениях современной статистической физики, где разработаны приемы построения приближенных теорий сложных систем.

Прежде всего переформулируем динамическую задачу (1) —(2) на языке статистической физики. В статистической физике рассматриваются средние значения (Л) различных физических характеристик А. Средние значения вычисляются с помощью функций распределения р (х, /):

где интегрирование по х производится по полному набору динамических переменных:

Функции распределения удовлетворяют условию нормировки.

При формулировании динамической задачи на языке статистической физики средние значения (Л (/)), вычисляемые с помощью (5), должны соответствовать мгновенным значениям A (t) величин А в момент времени /. Этого можно добиться, выбирая «динамическую» функцию распределения р_в(х, /) в виде.

где 5(x-jc (/)) — 5-функция Дирака:

Действительно, функция р_а(*, 0 оказывается нормированной на единицу, как этого требует условие (7), и для среднего значения (Л (/)) в этом случае имеем.

Подчеркнем, что в этих соотношениях х означает динамическую переменную, a x (t) — функция времени, определяемая соотношением (3).

Переход к полному статистическому описанию рассматриваемой системы может быть осуществлен путем усреднения динамической функции распределения р_а(х, t) по ансамблю всех возможных значений начальных условий х (0): где ро (х (О), 0) — функция распределения при t = 0, полученная на основе каких-либо физических соображений. Покажем, что статистическая функция распределения р (х, /) удовлетворяет условию нормировки (7) в любой момент времени /, если нормирована функция распределения р₀(.х (0), 0):

Действительно, с помощью (И) и (12) получаем.

В случае, когда рассматриваемая система описывается гамильтоновой динамикой, статистическая функция распределения удовлетворяет уравнению Лиувилля:

где Я — функция Гамильтона, а [Я, р] — классические скобки Пуассона, определяемые соотношением:

где т равно половине полного числа п динамических переменных системы.

В общем случае, когда динамика системы не обязательно является гамильтоновой, уравнение, определяющее эволюцию статистической функции распределения со временем, может быть получено следующим образом. Дифференцируем по времени соотношение (11):

Благодаря форме аргумента 5-функции в соотношении (16) можно заменить частные производные по функции x,{t) на производные по динамическим переменным х:

Теперь можно поменять порядок интегрирования по начальному распределению и дифференцирования по динамическим переменным. В результате имеем.

Учитывая, что под интегралом стоит 5(х-х (/)), можно заменить производные хД/) по времени от функций хД/), являющихся решениями динамических уравнение (1), на правые части /(x, t) динамических уравнений, где х — динамические переменные. В результате получим.

Обратим внимание, что частные производные по динамическим переменным х, в соотношении (19) стоят вне знака интегрирования и поэтому относятся ко всему выражению, получающемуся в результате интегрирования по начальному распределению. С другой стороны, функции /Дх, /) не зависят от начального распределения р₀ (х (0), 0) и при интегрировании должны считаться константами. Учитывая определение (11) статистической функции распределения, мы окончательно приходим к уравнению.

Легко проверить, что в случае гамильтоновых систем, когда х = {/}, а уравнения (1) имеют вид (4), уравнение (20) для р (х, t) превращается в уравнение Лиувилля (14). Подчеркнем еще раз, что уравнение (20) соответствует любой системе, обладающей какой-либо динамикой в смысле существования уравнений (1) для набора величин х = (х, …, х"), в терминах которых производится описание свойств системы.

Уравнение (20) имеет смысл уравнения непрерывности. Если учесть, что функции /(х, /) в силу динамических уравнений (1) соответствуют скоростям изменения переменных х, то легко видеть, что уравнение (20) имеет вид.

где v — вектор в я-мерном пространстве:

а операция div означает дивергенцию в я-мерном пространстве. Этот результат вполне естественен в свете закона сохранения, выражаемого соотношением (20).

Средние значения (A (t)) физических величин А (х, /), определяемые с помощью соотношения (5), обладают удобным свойством:

что означает коммутативность операций усреднения по ансамблю и дифференцирования по времени.

Чтобы доказать свойство (23), подставим соотношение (11) в выражение (5) для (Л):

Меняя порядок интегрирования в (24) и вычисляя интеграл с 8-функцией, получаем.

где, в отличие от (24), величины А являются функциями решений x (t) динамических уравнений, а не динамических переменных х.

Сравнение выражений (5) и (25) показывает, что усреднение величин А (х, t) может быть произведено как с помощью функции распределения р (лг, /), взятой в тот же момент времени /, так и с помощью функции распределения р₀ (х (0), 0) в начальный момент времени / = 0, но в последнем случае необходимо знать зависимость от времени функций х (/), т. е. необходимо знать решения динамических уравнений (1).

Теперь применим формулу (25) для вычисления среднего значения (dA (t)/dt) величины dA (t)/dt. Имеем.

Продифференцируем соотношение (25) по времени:

Сравнение выражений (26) и (27) доказывает справедливость соотношения (23), которое означает, что при построении некоторого сокращенного (неполного) описания системы, основанного на использовании определенного набора величин А, а не полной статистической функции распределения р (*, /), можно исходить из уравнений для (idA/dt), минуя этап самих средних значений (Л).

Теперь обсудим кратко принципы перехода к такому сокращенному описанию физической системы в рамках развитого подхода. Предположим, что мы хотим описывать изучаемую систему в терминах некоторых величин А_к = А_к(х> /), к = 1, 2, /, где /.

много меньше числа п динамических переменных системы: /п. Можно ввести «сокращенную» функцию распределения р(А), А = (Д, Д), определяемую соотношением.

где А = (Д, Д) — набор возможных значений физических величин ДДх, /). В случае, когда А представляет собой набор дискретных значений величин А, интегрирование в выражении (28) заменяется суммированием по всем возможным значениям А. В (28) использовано обозначение.

Правая часть выражения (28) представляет вероятность того, что система находится в одном из состояний с такими х, для которых А (х, t) совпадает с А. Функция р(A, t) позволяет найти вероятности определенных значений физических величин / = /(Д г), зависимость которых от динамических переменных осуществляется через А. Кроме того, она позволяет найти средние значения этих величин. Действительно, для (/(А)) имеем.

Используя свойства 5-функции, можно переписать соотношение (30) в виде.

Учитывая определение (28) функции распределения сокращенного описания, с помощью (31) получаем.

Таким образом, средние значения (/(А)) могут быть определены в рамках сокращенного описания системы. Разумеется, проведенное рассмотрение показывает только принципиальную возможность перехода к сокращенному описанию, поскольку практически невозможно найти полную функцию распределения p (x, t) для достаточно сложных систем и воспользоваться соотношениями (28) и (32).

Практически переход к сокращенному описанию на пути построения иерархии моделей по принципу «сверху вниз» осуществляется в построении уравнения эволюции для неполной функции распределения или непосредственно уравнений эволюции для средних значений тех характеристик системы, которые выбираются для ее сокращенного описания. Именно эти уравнения обычно и называются управляющими уравнениями. Выше мы уже обсудили вопросы, связанные с установлением качественной картины эволюции системы во времени и возможности осуществления ее неполного описания. В подразд. 2.7 будет изложена формальная схема принципиально возможного перехода к сокращенному описанию, опирающаяся на редукцию полного описания. Такая схема, хотя и очень трудно реализуема для реальных сложных систем, позволяет, тем не менее, установить общий вид управляющих уравнений, обеспечивая тем самым определенную основу для установления таких уравнений в рамках интуитивного подхода.

Задачи и упражнения

• 1. Покажите, что в случае гамильтоновой системы с уравнениями движения (4) уравнение эволюции (20) переходит в уравнение Лиувилля.
• 2. Поясните, дтя какой физической величины уравнение (20) выражает закон сохранения.
• 3. Покажите, что уравнение (21) может быть переписано в виде

где d/dt означает полную производную по времени.

4. Поясните, какой закон сохранения выражается соотношением (20).

Литература

: [10].