Вероятностное представление случайных величин и процессов

В теории сигналов исследуемый случайный процесс представляют бесконечным множеством некоторых временных функций. Рассмотрим случайный процесс (для наглядности — низкочастотный), состоящий из множества случайных сигналов х,(0> x₂(t),…, x_h(t),…, называемых реализациями случайного процесса (рис. 3.2), и аналитически описываемый некоторой обобщающей его случайной функцией X (t). Совокупность всех реализаций случайного процесса называют ансамблем (рис. 3.2, а). Ансамбль реализаций — модель анализируемого процесса, по конкретные реализации (см., например, k-io реализацию на рис. 3.2, б) представляют физические объекты и входят в ансамбль как его неотъемлемая часть.

Типичными примерами случайных процессов в связи являются тепловые шумы в пассивных и активных элементах, действием которых сопровождается работа всех устройств. Реализацией случайного процесса является зафиксированный осциллографом отрезок развития во времени случайного напряжения. Ансамблем реализаций случайного процесса яв;

Рис. 3.2. Реализации случайного процесса:

а — ансамбль; б — k-я реализация ляется группа сигналов, наблюдаемых одновременно на выходах идентичных генераторов шумового напряжения. Отдельную реализацию случайного процесса трудно описать явной формулой. Но поскольку конкретный вид реализации (например, принятый сигнал в системе связи) позволяет определить практически все ее параметры (измерить амплитуду, оценить частоту изменений мгновенных значений и т. д.), то она является уже детерминированным сигналом.

Отметим на рис. 3.2 момент времени t = ?,. Значения, принимаемые конкретными реализациями ансамбля в момент времени ?, образуют совокупность случайных величин ж,(?,), х₂(?,), …, x^t,), которую обозначим X (f,). Совокупность X (t_t) называют сечением случайного процесса.

Аналитическое описание случайных процессов определяется основными статистическими характеристиками, к которым относятся одно-, двуи многомерные интегральные и дифференциальные функции распределения, числовые характеристики (среднее значение, дисперсия и др.), спектральные и корреляционные функции. Однои двумерные функции распределения позволяют найти наиболее вероятные значения параметров случайных процессов, а многомерные функции распределения дают возможность получить практически полную информацию о случайном процессе.

Одной из важных одномерных характеристик случайной величины Х (?,) является интегральная функция распределения (по-другому — функция распределения вероятности или, проще, — функция распределения) F (x). Численно эта функция определяется как вероятность того, что все значения случайной величины Х (?,) не превышают некоторого заданного уровня х:

где Р — символ, отражающий вероятность.

Основные свойства интегральной функции распределения вероятности следующие:

• • для случайной величины Х (?,), имеющей любые вещественные значения, функцию распределения определяют на интервале 0 < F (x) < 1 при
• —оо <�х<
• • функция распределения F (x) не уменьшается при возрастании аргумента х;

• для интегральной функции распределения F (x) случайного процесса справедливо равенство

Если случайная величина X (t_{) является непрерывной во времени, то часто вместо функции распределения удобнее пользоваться ее производной.

получившей название одномерной плотности распределения вероятности (или, проще, плотности вероятности).

Зададим некоторый интервал (а, Ь) изменения мгновенного значения х случайного процесса (см. рис. 3.2). Тогда из формулы (3.1) следует, что плотность вероятности

есть вероятность попадания случайной величины X (/,) в заданный интервал.

Пусть параметр а —* °°, а b принимает текущее значение переменной х (рис. 3.2, а). В этом случае интегральная функция распределения примет вид.

Следует отметить, что одномерная плотность вероятности — всегда неотрицательная величина и удовлетворяет условию нормировки.

Это соотношение можно трактовать следующим образом: площадь под кривой плотности вероятности р (х, ?,) всегда равна единице. На рис. 3.3 в качестве наглядного примера приведены графики распространенной функции плотности вероятностей р (х) = ехр (|х|) и соответствующей интегральной функции распределения F (x).

Рис. 33. Графики функций р (х) = exp (-|.v|) и соответствующей F (x).

Одномерная плотность вероятности (или одномерная функция распределения) и связанные с ней различные характеристики позволяют получить весьма важную информацию о свойствах случайного процесса. Для решения же многих практических задач техники связи таких сведений часто недостаточно, так как они дают вероятностное представление о случайном процессе X (t) только в отдельные моменты времени и ничего не говорят о том, как он изменяется в широких интервалах времени. Поэтому для описания его временных характеристик необходимо использовать корреляционную функцию или привлечь для этого спектральные характеристики случайного процесса.

Достаточно исчерпывающей характеристикой случайного процесса служат «-мерная плотность вероятности p{x_v…, х_к; t_v…, t_ri) и «-мерная функция распределения F (x), полученная для к реализаций в п фиксированных моментах времени t_v t₂,…, t_n. Многомерные плотности вероятности используют редко, поскольку они сложны и требуют для определения и обработки много экспериментальных данных. В прикладных задачах статистической теории связи наряду с одномерной применяют двумерную плотность вероятности p (x (t_{), x (t₂)). Для ее определения надо располагать двумя сечениями случайного процесса Х (?₍), X (t₂), полученными в моменты времени t_x и t₂ (см. рис. 3.2).