Определение понятия модели

Переход от формальной теории к ее модели является завершающей стадией решения некоторой проблемы математическими средствами. Сущность математического подхода к решению реальных задач, к какой бы отрасли знаний они не относились, заключается в следующем:

• — сначала объект исследования или конкретная реальная проблема формализуется, т. е. подбирается формальная система, в которой утверждения (гипотезы) о том или ином решении поставленной задачи представляются в виде формул,
• — затем формулы, соответствующие проверяемым гипотезам, анализируются на предмет их доказуемости средствами формальной системы; другими словами, обосновывается решение проблемы средствами формальной системы; если же решение, подлежащее обоснованию, заранее не известно, то оно отыскивается и обосновывается также средствами формальной системы,
• — наконец, с помощью интерпретации символов формальной системы осуществляется обратный переход от формализованной постановки задачи к ее исходной постановке, имеющей отношение к реальному миру, т. е., строго говоря, строится ее реальная модель. Благодаря интерпретации доказуемых формул (теорем) формальной системы выясняется содержательный смысл истинного решения поставленной проблемы. Тем самым завершается процесс решения задачи математическими средствами.

При выяснении содержательного смысла формальной теории определяющими являются следующие два фактора:

• — каким символам формальной системы что соответствует в реальной предметной области, к которой относится решаемая проблема,
• — по каким правилам формулы формальной системы переводятся в утверждения о свойствах объектов предметной области.

В понятии «интерпретация» учитываются оба эти фактора. Пусть М= — некоторая формальная теория, a D — непустое множество объектов (реальных или абстрактных), имеющих отношение к решаемой задаче. Множество D называется предметной областью.

Определение. Интерпретацией формальной теории М называется такое отображение ср: Т—>0, при котором любой аксиоме теории М соответствует истинное утверждение о свойствах или взаимосвязях объектов из множества D, а каждой формуле F этой теории соответствует определенное истинное или ложное утверждение о свойствах или взаимосвязях объектов из множества D.

Введем обозначения: 1 — значение истинности «истина», 0 — значение истинности «ложь». Запись (p (F) = 1 означает, что формула^{интерпретируется} с помощью интерпретации ф в истинное утверждение о свойствах или взаимосвязях объектов из множества D. Запись ц>(Е) = 0 означает, что формула Fинтерпретируется с помощью интерпретации ф в ложное утверждение о свойствах или взаимосвязях объектов из множества D. Если ⁽J — какое-нибудь множество формул, то запись ф (^7~) = 1 обозначает тот факт, что для любой формулы FsF выполняется ф(F) = 1. Аналогично определяется равенство ф (^Г) = 0. Интерпретацию ф теории М называют также моделью этой теории.

Рассмотрим пример модели неевклидовой геометрии на плоскости, которая создана немецким математиком Ф. Клейном и для которой предметной областью является евклидова геометрия на плоскости. Евклидова геометрия рассматривается как формальная система с гильбертовой системой аксиом. Неевклидова геометрия также рассматривается как формальная система, единственное (!) отличие которой от евклидовой геометрии заключается в замене евклидовой аксиомы о параллельных на аксиому о параллельных Лобачевского или на аксиому о параллельных Римана. В первом случае неевклидову геометрию называют геометрией Лобачевского, во втором — геометрией Римана. В геометрии Римана аксиома о параллельных формулируется следующим образом.

Аксиома о параллельных Римана. Если в плоскости заданы прямая и точка вне нее, то в этой плоскости не существует ни одной прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой.

Из нее можно сделать вывод о том, что в геометрии Римана параллельных прямых нет вообще.

Ниже строится модель геометрии Лобачевского на плоскости. В ней аксиома о параллельных формулируется так.

Аксиома о параллельных Лобачевского. Если в плоскости заданы прямая и точка вне нее, то в этой плоскости существует более одной прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой.

Из нее можно сделать вывод о том, что в геометрии Лобачевского на плоскости для произвольной прямой можно провести через заданную точку, не принадлежащую этой прямой, бесконечно много прямых, параллельных данной прямой.

Сущность модели геометрии Лобачевского состоит в следующем. Пусть С — некоторый круг, расположенный в евклидовой плоскости. В геометрии Лобачевского плоскостью назовем внутренность этого круга (рис. 13), т. е. точки, лежащие на окружности, этой плоскости не принадлежат. Тот факт, что точки окружности не принадлежат плоскости Лобачевского (кругу), отмечен на рис. 13 пунктиром. Прямыми назовем хорды этого круга, причем концы хорд, естественно, не рассматриваются, т. е. не принадлежат этим прямым в плоскости Лобачевского. Этот факт отмечен выделением концов хорд. Наконец, точками назовем внутренние точки круга. Для таких точек, прямых и плоскости выполняются все аксиомы геометрии Лобачевского на плоскости, в том числе аксиома о параллельных Лобачевского.

Рис. 13.

Действительно, через точку Р, не принадлежащую прямой а, проходит бесконечно много прямых, не имеющих общих точек с заданной прямой а. Выделенные прямые — это крайние положения параллельных прямых.