Интерпретация логики высказываний

В соответствии с определением интерпретации (модели) ср она является отображением, сопоставляющим символам алфавита Тобъекты предметной области Z), и переводит формулы, в том числе пропозициональные символы, в истинные или ложные утверждения о свойствах объектов предметной области. Поскольку в математической логике имеют значение только истинность или ложность утверждений о свойствах предметной области, то отображение (p: T-^D удобнее рассматривать как отображение (р: -«{0, I}, переводящее множество всех формул логики высказываний на множество {О, I} значений истинности, где 0 — это символ значения истинности «ложь», а I — символ значения истинности «истина».

Понятно, что для задания конкретной модели ср: J —"{0, 1} достаточно определить ср на пропозициональных символах и задать способ вычисления значений истинности ср (д->/>) и ф (-|Д), если заданы значения истинности для ф (д) и ср (А). Таблицы истинности для связок -> и задают способ вычисления значений истинности.

Определение. Интерпретацией (моделью) логики высказываний называется такое отображение ср: —>{0, 1} множества всех формул логики высказываний на множество {0, 1} значений истинности, по которому каждому пропозициональному символу соответствует определенное значение истинности 1 (истина) или 0 (ложь), а каждой формуле вида д—или вида ->а сопоставляется 1 или 0 в зависимости от значений истинности для формул а и Ь в соответствии с таблицами истинности:

Вместо а и -.д в шапке таблицы истинности для связкиi следовало бы писать ф (д) и (р (-1Д) соответственно. Аналогично, в таблице истинности дтя связки -«следовало бы писать ф (д), ф (/>) и ф (д-«/>), а не д, b и д->/> соответственно. Тем не менее, для краткости записи сохраним в этих таблицах и во всех других таблицах истинности использованную сокращенную форму записи.

Из определений связок л, v и = следует, что их таблицы истинности имеют вид:

Определение. Формула Л логики высказываний называется тавтологией, или тождественно-истинной формулой, если для любой модели (р выполняется (р (А) = 1.

Другими словами, формула Л является тавтологией, если для любого набора значений истинности составляющих формулу Л пропозициональных символов эта формула согласно таблицам истинности всегда принимает значение истинности 1 (истина).

Упомянутая ранее теорема Э. Поста формулируется так.

Теорема Э. Поста. Для того чтобы формула логики высказываний была теоремой, необходимо и достаточно, чтобы она являлась тавтологией.

Эта теорема, по сути, утвердительно отвечает на вопрос, является ли логика высказываний разрешимой формальной теорией. Эта же теорема позволяет установить непротиворечивость и полноту логики высказываний. Так что справедлива следующая теорема.

Теорема. Логика высказываний является разрешимой, непротиворечивой и полной формальной теорией.

Этот результат представляет особый интерес, так как он указывает на адекватность логики высказываний классическим логическим рассуждениям. Он утверждает, что мышление и его выражение с помощью языка формализуемы, по крайней мере, частично (ибо не учитывается внутренняя структура утверждений), и представимы в краткой форме с помощью чисто символьных схем и представлений.