Формула обращения. 
Операционное исчисление

Формула обращения:

Формула обращения устанавливает связь между изображением и оригиналом.

Теория.

Оригинал f (t) в точках непрерывности определяется равенством:

(1).

F (s) — изображение по Лапласу оригинала f (t), а интеграл в правой части этого равенства понимается в смысле главного значения, то есть:

И берется вдоль прямой, параллельной оси и расположенной в полуплоскости .

Доказательство Теорема будет доказана, если удастся установить:

При сходится равномерно. Поэтому можно заменить порядок интегрирования:

Теперь вычисляем:

Введем новую переменную и обозначим ее значение:

Тогда.

А теперь рассмотрим каждый из интегралов:

(2).

Устремим и обозначим .

(3).

Функция f (t) — оригинал, ограничена. Все интегралы правой части последнего равенства являются сходящимися. Значит, что интервал будет меньше малого положительного числа. Значения t характеризуют собой точки функции f (t), то есть при фиксированном значении выполняется, поэтому модуль интервала стремится к нулю.

Окончательно получаем:

Теорема доказана.

Формула (1) называется формулой обращения. С ее помощью устанавливается связь между F (s) и соответствующего ему оригинала f (t). Процесс получения оригинала по заданному изображению представляет собой обратное преобразование Лапласа:

при (4).

Это обстоятельство показывает, что f (t) = оригинал.

Следует отметить, что формула (1) определяет оригинал только в точках его непрерывности. Как и доказательство (3) в точках разрыва функции f (t) справедливо равенство функции:

(5).

Оригиналам всегда соответствует единственное изображение, которое определяется по формуле (1).