Лекция 3. Оболочечная модель ядра

Основные положения квантовой механики.

^[1] На малых расстояниях классическая механика перестает быть справедливой за счет проявления квантовых закономерностей. Квантовые свойства проявляются тем резче, чем меньше массы частиц и расстояния между ними. Поэтому мир атомных ядер и элементарных частиц является существенно квантовым.

Одно из основных свойств квантового мира — неразрывная связь между частицами и волнами: частице любого сорта соответствует волна, называемая волной де Бройля. Наоборот, каждой волне соответствует частица или группа частиц. Физические величины, характеризующие волну — это ее частота со и длина волны X.² Чтобы указать нс только длину, но и направление распространения волны, вводят волновой вектор к, ориентированный вдоль направления распространения и по абсолютной величине равный k = 1/Х.

Физические величины, характеризующие частицу — это энергия и импульс. В квантовой теории энергия и импульс связаны с частотой и волновым вектором следующими соотношениями-

Эти соотношения выражают дуализм волн и частиц в квантовом мире, совершенно необъяснимый с позиций классической физики. Действительно, частица локализована в точке, а волна, наоборот, занимает все доступное ей пространство. Для понимания этого парадокса приходится смириться с тем, что в микромире фраза «частица с импульсом р находится в точке г» просто не имеет смысла. Иными словами, в квантовой механике не существует понятия траектории частицы. Это обстоятельство составляет содержание принципа неопределенности — одного из основных постулатов квантовой механики, сформулированного В. Гейзенбергом. Координата и скорость частицы являются в квантовой механике величинами, которые не MOiyr быть одновременно точно измерены. Невозможно определить точно и энергию частицы в строго определенный момент времени.

Степень неточности измерения координаты Ах и проекции импульса Ар_х определяется известным соотношением неопределенностей Гейзенберга:

Аналогично соотношение для неопределенностей времени At и энергии.

АЕ:

Из соотношения неопределенностей (3.3) вытекает связь между малыми расстояниями и большими энергиями: чем меньшие расстояния надо исследовать, тем больше должен быть импульс, а следовательно, и энергия частиц, с помощью которых проводится исследование. Поэтому физика сверхмалых расстояний — это физика сверхвысоких энергий. Подобно тому, как в микроскопе можно наблюдать расстояния, не меньшие длины волны света, так и пучком частиц можно «прощупывать» детали структуры на расстояниях, не меньше длины волны де Бройля этих частиц.

В классической механике состояние частицы в определенный момент времени полностью описывается заданием шести чисел: трех координат jc, у и z и грех соответствующих проекций импульса р_ХУ р_у и /л. Вместо этого в квантовой теории состояние частицы полностью описывается заданием функции трех переменных ц/(х, у_у z) во всем пространстве, т.с. трехмерным континуумом чисел. Функция ц/(х, у, z) = у/(г) называется волновой функцией.

В классической механике уравнения движения являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка. С их помощью по заданным значениям координат и скоростей (или импульсов) в начальный момент времени можно определить эти же величины в любой другой момент времени /. В квантовой механике уравнение движения должно, очевидно, сводиться к описанию временной эволюции волновой функции у/(г). Это волновое уравнение называется уравнением Шредингера и имеет вид

где Д — дифференциальный оператор Лапласа.

Особое значение в квантовой механике имеют стационарные состояния: состояния, в которых все наблюдаемые физические параметры (в частности, энергия Е) нс меняются с течением времени. Для них уравнение Шредингера (3.5) преобразуется к следующему виду:

Уравнение (3.7) носит название стационарного уравнения Шредингера. Решения этого уравнения существуют, вообще говоря, не при любых значениях Е_у а только при некоторых. Они называются собственными значениями энергии. Соответствующие им функции у/ называются собственными функциями. Собственные значения энергии могут быть дискретными, a MOiyr непрерывно заполнять конечный или бесконечный интервал (в первом случае говорят, что энергетический спектр системы дискретный, а во втором — непрерывный). Пример решения стационарного уравнения Шредингера для простейшего случая движения частицы в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной ямс приведен в ПРИЛОЖЕНИИ Б.

В тех случаях, когда потенциальную энергию можно представить в виде суммы, каждое слагаемое в которой зависит только от одной координаты, стационарное уравнение Шредингера можно разбить на несколько уравнений, по числу слагаемых в сумме. Например, если для двумерного движения справедливо

то решать пару уравнений.

можно независимо. Собственная функция у/ в этом случае будет произведением

а собственное значение энергии суммой.

Этот принцип решения при возможности разделения переменных остается справедливым для любого числа независимых координат, а также их комбинаций.

Практически важна в квантовой механике задача о стационарном движении частицы в потенциальном поле С/(г), зависящем только от длины радиусвектора г и не зависящем от углов в и ср (так называемое центральное иоле). В этом случае разделение переменных в (3.7) позволяет найти универсальные собственные функции у/{0, (р), которые определяются лишь значениями момента импульса частицы

и проекции вектора L на выбранную ось L-. При этом.

Числа / и Ш{ называются орбитальным и магнитным квантовыми числами. Так как момент импульса изолированной системы, подобно энергии и импульсу, является интегралом движения, т. е. сохраняющейся величиной, практическое значение имеет также правило суммирования моментов отдельных подсистем:

Инвариантность (неизменность) свойств квантовомеханической системы при операции инверсии (когда каждый радиус-вектор г меняется наг) приводит к еще одному квантовому числу — четности (Р). Система является четной (Р = +1) или нечетной (Р = -1) в зависимости от того, сохранится или изменится знак волновой функции системы при смене знаков всех пространственных координат. Четность изолированной системы, как и энергия, импульс и момент импульса, сохраняется.^[2]

Правила нахождения четности при возникновении новой системы просты. Если две четные или две нечетные частицы образуют систему, то она будет четной. Если одна из частиц находится в четном, а другая в нечетном состоянии, система будет нечетной. Таким образом, величина Рмультипликативна.

При движении частицы в центральном поле се волновые функции с четным орбитальным числом / четны, с нечетным — нечетны. В результате.

где П и ТГ2 — внутренние четности частиц. Внутренние четности имеют смысл лишь будучи определенными относительно какой-либо частицы. Для протона принята ж_р — +1. Четности всех других частиц определяют относительно протона на основании закона сохранения четности. Так, внутренняя четность электрона тс_е = +1, нейтрона гг, = +1, а фотона щ = -1.

Согласно релятивистской квантовой теории частица обладает собственным моментом импульса S — спином (последний никак не связан с ее орбитальным движением). Величина спина

характеризуется числом s, принимающим, в отличие от орбитального квантового числа, не только целые (0, 1, 2…), но и полу целые (½, 3/2, 5/2 …) значения. Часто именно это число s и называют спином частицы.

Частицы с целым спином называют бозонами, с полуцелым — фермионами. Электрон, протон и нейтрон (s = /г) принадлежат к группе фермионов. Фотон (s = 1) является бозоном. Все фермионы подчиняются принципу Паули, согласно которому в любом квантовом состоянии может находиться не более одного фермиона данного вида. Для бозонов подобного ограничения нс существует.

Волновая функция системы одинаковых фермионов антисимметрична по отношению к перестановке координат любых двух частиц (т.е. меняет свой знак при такой операции). Волновая функция системы одинаковых бозонов симметрична относительно такой перестановки.

• [1] Предполагается, что читатель в той или иной степени знаком с основами квантовой механики. Всвязи с этим настоящий раздел носит, в основном, справочный характер. ' си = 2пи X = А /2лкруговая частота и приведенная длина волны. Под частотой и длиной волныобычно подразумевают v и Я, а нс ггсля 2л.
• [2] Закон сохранения четности нарушается при слабом взаимодействии, т. е., например, при Р-распаде.Однако это явление непосредственно не связано с большинством вопросов, рассматриваемых далее.