Коррекция линейных ошибок при задании фазового сдвига

Рассмотрим устойчивость алгоритмов расшифровки к линейным ошибкам при установке фазового сдвига. Устройства внесения фазового сдвига имеют достаточно высокую линейность. Линейные ошибки возникают из-за неправильной калибровки или неправильного определения необходимого угла сдвига. Действительный фазовый сдвиг может быть выражен формулой.

где п/2 — требуемый фазовый сдвиг и? — линейная ошибка при установке фазы. Интенсивность г-й интерферограммы будет иметь вид.

На рис. 2.17 показаны типичные искажения фазового фронта при линейной ошибке в задании фазового сдвига. Видно, что погрешность определения фазовых значений соответствует двойной частоте исходных интерференционных полос. Так как результирующая фазовая ошибка имеет большой период, ее невозможно отделить от полезного сигнала методами цифровой фильтрации. Поэтому необходимо использовать алгоритмы, устойчивые к линейным ошибкам. Для уменьшения ошибки можно проводить две серии измерений и усреднять результирующие фазовые значения. Тот же эффект достигается, если объединить исходные данные и проводить расшифровку по следующей формуле:

где Nj и Dj — числитель и знаменатель выражений типа (2.33), (2.34).

Можно уменьшить число необходимых интерферограмм, если использовать алгоритмы со сдвигом п/2. В этом случае проводится.

Рис. 2.17. Фазовая погрешность от 20%-й линейной ошибки при установке сдвига:

а — фазовые значения после удаления 2х неоднозначности; б- отклонения результирующих значений от идеальных только одно добавочное измерение. При использовании m-точечного алгоритма необходимы две последовательности из от интерферограмм, сдвинутые на я/2, или от + 1 интерферограмма. Эту процедуру можно продолжить для построения более сложных алгоритмов. Если взять две последовательности по от + 1 интерферограммы, сдвинутые на я/2, получим (от+2)-точечный алгоритм с еще меньшей величиной ошибки. Имея два основных выражения, (2.31) для трехточечного и (2.32) для четырехточечного алгоритмов, можно получить два класса уравнений расшифровки. Алгоритмы класса А (табл. 2.1) основаны на трехточечном алгоритме, алгоритмы класса В — на четырехточечном (табл. 2.2).

Приведенные алгоритмы реализуются с помощью простых операций вычитания, сложения и поразрядного сдвига, поэтому при их цифровой реализации достигается высокая скорость расшифровки. Погрешность алгоритма 4В существенно больше, чем алгоритмов 4А и 5В. Лучшие результаты у алгоритмов 5А и 6В. Наименьшую погрешность дает алгоритм 6А. Алгоритмы класса Л, полученные из трехточечных алгоритмов, дают такую же ошибку, что и алгоритмы класса В при числе точек в формуле расшифровки на единицу больше. Наиболее быстрыми при фиксированном числе интерферограмм, полученных при различных фазовых сдвигах, являются алгоритмы класса В. Алгоритмы класса А обеспечивают большую точность при том же числе сдвигов. Отметим, что Алгоритмы класса А

Таблица 2.1.

Число точек.

Таблица 2.2.

Алгоритмы класса В

Число точек.

числа сдвигов более шести нецелесообразно, поскольку уровень корректируемых ошибок становится меньше погрешности, вызванной другими систематическими ошибками. Так, ошибки от квантования интенсивности при вводе изображения интерферограммы в компьютер зависят от возможного диапазона распределения числителя и знаменателя в выбранной формуле расшифровки. Максимальные амплитуды изменений значений числителя и знаменателя и величины абсолютных ошибок для различных алгоритмов при квантовании на восемь двоичных разрядов или на 256 уровней интенсивности приведены в табл. 2.3. При увеличении количества шагов число возможных уровней, которые могут принимать числитель и знаменатель, увеличивается. Тем самым снижается влияние погрешности при ошибке в измерении интенсивности Таблица 2.3.

Диапазон дискретных значений числителя и знаменателя и значение абсолютной погрешности в зависимости от выбранной формулы расшифровки при 256 уровнях квантования.

на один квант. Из таблицы видно, что шеститочечные алгоритмы обеспечивают коррекцию линейных ошибок, при которой погрешность от неправильного задания фазы меньше, чем от квантования поля интенсивностей интерферограммы при восьми двоичных разрядах.

Рассмотрим алгоритм, полученный при допущении, что последовательные фазовые сдвиги отличаются на одну и ту же величину. В этом случае нет необходимости в точном определении вносимых фазовых сдвигов, достаточно, чтобы разница между последовательными сдвигами была одинаковой. Этот алгоритм предложен Р. Сагге. Пусть 8 = -За, 82 = -а, 5з = а и 6₄ = За, тогда с помощью тригонометрических преобразований из системы уравнений (2.29) можно получить.

При использовании этого выражения для расширения диапазона от 0 до 2п необходимо анализировать не знаки числителя и знаменателя, а знаки следующих выражений:

Поскольку значения множителей, заключенных в квадратные скобки, положительны, левые части этих равенств определяют квадрант, в котором находится искомый фазовый угол. Ошибки от неправильной калибровки при расшифровке по формуле (2.44) такие же, как и у алгоритма 6А. Алгоритм Р. Carre часто применяется при измерениях с разными длинами волн, так как в этом случае не нужно вводить калибровочные множители для фазовых сдвигов. Однако использование этого алгоритма в реальных условиях не позволяет достичь его предельных характеристик, поскольку в формулу расшифровки неявно входит угол сдвига, описываемый выражением (2.42). При расшифровке этот угол определяется с большой погрешностью в областях, близких к 0, л, 2л. Покажем это на примере расшифровки реальных интерференционных картин.

Интерференционные картины, по которым проводилась расшифровка, получены при интерференции плоских волновых фронтов, отраженных err поверхности контролируемого и эталонного плоских зеркал. Фазовый сдвиг равен 95°. Поле разности фаз, определенное в результате расшифровки с помощью нелинейного алгоритма, показано на рис. 2.18.

Видно, что в диапазоне изменения фазы от 0 до 2л погрешность определения угла сдвига велика в областях, близких к 0, л, 2л. Поэтому погрешность определения исходной разности фаз между интерферирующими волнами будет велика в этих областях (на графике эти области показаны кружками). Для уменьшения погрешности нами предложена следующая модификация алгоритма. Поскольку сдвиг задается перемещением плоского эталонного зеркала, вносимые фазовые сдвиги (угол а) должны быть одинаковы по всему полю. Необходимо найти его действительное значение фазового сдвига, которое затем подставить в выражение (2.43) и определить искомое значение фазовой разности.

Рис. 2.18. Распределение разности фаз и ее график по центральной строке.

Погрешность в сбойных областях достаточно велика, поэтому угол сдвига находился усреднением по всему полю, кроме областей, в которых значения фаз удовлетворяют следующим соотношениям:

Средний угол сдвига, найденный по всему полю (рис. 2.19), равен 101°, угол сдвига, определенный с исключением рассмотрения сбойных областей, равен 95°. Размер окрестности Дф (в рассматриваемом примере Аф = ±л/8) выбирался опытным путем.

Сравнение результатов расшифровки по модифицированному и основному алгоритму Carre показано на рис. 2.20.

Рис. 2.19. Распределение угла сдвига, полученного по формуле (2.42) и графики по указанным столбцам.

Рис. 2.20. Сравнение фазовых значений, определенных по алгоритму Carre и модифицированному алгоритму.

Модифицированный алгоритм наиболее явно исправляет ошибочные значения вблизи точек перехода через 2п. Из рис. 2.20 видно, что в этой области фазовые значения, определенные по модифицированному алгоритму, имеют более резкий переход. Это позволяет использовать простые способы устранения фазовой неоднозначности.

Максимальная величина отклонения составила 2я/25. Поскольку в интерферометре Тваймана — Грина цена полосы равна Х/2, где X — длина волны используемого источника освещения, максимальное отклонение фазовых значений, полученных в результате работы этих алгоритмов, составило АУ50. Среднеквадратичное отклонение результатов равно Х/100. Максимальные отклонения наблюдаются в областях, близких к фазовому переходу через 2л. Экспериментальное моделирование показало, что максимальное отклонение от действительных значений составляет Х/30, среднеквадратичное — Х/60.

Таким образом, использование модифицированного алгоритма позволяет снизить погрешность определения разности фаз при линейной ошибке в задании фазового сдвига. Алгоритм исправляет ошибки в области фазового перехода через 2л, поэтому его применение приводит к более устойчивой работе алгоритмов развертки.