Флуктуации. 
Статистическая физика и термодинамика

Предположим, что нам известны вероятности w, того, что величина L принимает значения Lj. Зная, мы можем найти L. Возникает вопрос, в какой мере L характеризует реальные значения этой величины? Ясно, что если отклонения L от L достаточно малы, то всегда можно заменить наблюдаемое значение L ее средним значением. Поэтому необходимо ввести некоторую величину, которая характеризовала бы отклонение наблюдаемых значений L от L. Естественной представляется следующая возможность: подсчитаем отклонения значений величины L от среднего значения

и в качестве искомой меры возьмём AL = L — L,. Однако, из свойств средних следует, что.

Понятен смысл полученного результата: в силу случайности значений Lj равновероятными оказываются как большие L значения, так и меньшие. Поэтому при вычислении среднего в сумме выражения (7) одинаково часто будут встречаться равные по модулю, но противоположные по знаку слагаемые. Тогда для получения ненулевого значения нужно брать не сами отклонения, а их абсолютные значения, или, что удобнее, квадраты отклонений. Соответственно, мерой отклонений от среднего может служить величина

Для того, чтобы мера отклонений L от среднего имела ту же размерность, что и сама величина L, удобно ввести величину, а = ^М)². Значение (AL)² (а часто и а) называют среднеквадратичным отклонением или флуктуацией («флуктуация» — рассеяние) величины L (в математике используется эквивалентный термин — «дисперсия»). Ясно, что чем меньше флуктуация, гем меньшая погрешность вносится при замене величины L ее средним значением. Относительная погрешность при такой замене определяется относительной флуктуацией

Если 6, «1, то это означает, что L в среднем настолько близка к.

Z, что замена L на L не вносит сколь-нибудь значительной ошибки.

Справедлива следующая важная теорема:

0 Если имеется система, состоящая из N независимых частей, то относительная флуктуация любой аддитивной функции состояния системы L обратно пропорциональна корню квадратному из числа частей

где - значение L для к- ой части системы.

Тогда Если предположить, что части, на которые разбита система, равноправны между собой, то характеризующие их величины имеют близкие значения. Поэтому величина суммы (8) пропорциональна числу слагаемых, то есть N.

Аналогично,.

Следовательно,.

Доказанная теорема играет определяющую роль в статистической физике. Ниже будет показано, что макроскопическую систему, как правило, можно представить в виде огромного числа частей, которые почти не взаимодействуют друг с другом. Поэтому характеризующие эти части аддитивные физические величины можно с высочайшей степенью точности заменить их средними значениями.