Введение в слабое секвенциальное равновесие

Для более ясного осмысления нового термина (слабого секвенциального равновесия) сначала рассмотрим пример, из которого будет видна необходимость расширения понятия равновесия Нэша — с целью исключения заведомо неподходящих равновесий.

Рассмотрим следующую динамическую игру с полной, но несовершенной информацией.

Саша и Маша поженились, Саша работает, Маша — домохозяйка. После работы Саша делает выбор, куда ему пойти: В — в библиотеку; D — домой; К — в гости к подруге Кате.

Маша знает, пришел ли Саша домой или нет. Но если он не пришел, то она не знает, в библиотеку он пошел или к Кате.

Первым ходом Саша выбирает между тремя ходами: D, В и К. Если он идет домой (D), то игра заканчивается с выигрышами 1 и 3. Если Саша не появляется дома, то Маша узнает об этом и затем выбирает одно из двух действий: пойти в театр (t) или остаться дома (d), после чего игра заканчивается и игроки получают платежи, указанные на рис. 6.1.

Рис. 6.1.

Рассмотрим нормальную (биматричную) форму этой игры:

Мы видим, что существуют два равновесия Нэша в чистых стратегиях: (К, t) и (D, d). Чтобы определить, являются ли эти равновесия совершенными подыгровыми, используем развернутую форму игры. Очевидно, игра не имеет подыгр. Следовательно, оба равновесия являются совершенными подыгровыми равновесиями Нэша. Тем не менее профиль стратегий (D, d) строится на заведомо неправдоподобном обещании Маши сидеть дома: если Маше будет предоставлена возможность хода (Саша не пришел домой), то ход t (пойти в театр) в любой ситуации для нее будет лучше, чем ход d (остаться дома). Следовательно, Саша нс станет играть D — ему не следует верить обещаниям Маши сидеть дома в его отсутствие (d).

Одна из возможностей избавиться от совершенного подыгрового равновесия Нэша (D, d) — неправдоподобного обещания Маши — состоит во введении следующих требований.

Требование 1. В каждом информационном множестве игрок, осуществляющий ход, должен иметь веру (belief) в то, какой из узлов достигнут им в данной игре. Если информационное множество содержит k узлов, то веры в данном информационном множестве представляют собой k различных неотрицательных чисел {р₁, р₂.—->1¹4}> сумма которых равна 1. Для одноточечного множества эта вера равна 1.

Требование 2. При заданных верах стратегии игроков должны быть последовательно рациональными. Это значит, что в каждом информационном множестве действия, осуществляемые игроком (и соответствующие стратегии игроков), должны быть оптимальными при условии задания вер в этом информационном множестве и оптимальных стратегиях остальных игроков.

На рис. 6.1 требование 1 заключается в условии задания для Маши вер на множестве узлов информационного множества в случае, если Саша делает один из ходов В или К. Пусть веры Маши о достижения этих узлов равны р и 1 — р соответственно.

При заданных верах ожидаемый выигрыш Маши при ее ходе d равен 1? р + (1 — р) • 0 = р, а при ходе t равен 2 • р + (1 — р) • 1 = 1 + р. Поскольку 1 + р > р при любом р, то требование 2 не допускает Маше играть d. Таким образом, простое требование, чтобы каждый игрок имел веру (аналог вероятностного распределения) о состояниях в информационном множестве и требование об оптимальном действии игроков позволяет избавиться от нежелательного (неправдоподобного) равновесия (D, d) в этой игре.

В требованиях 1 и 2 говорится о верах игроков и оптимальном выборе стратегий, однако ничего не говорится о том, как формируются эти веры. Для дальнейшего рассмотрения вер игроков мы будем различать информационные множества, которые расположены на траектории равновесия и вне траектории.

Определение 6.1. Пусть задана игра в развернутой форме. И пусть некоторые стратегии игроков составляют равновесие Нэша. Тогда будем говорить, что информационное множество находится на траектории равновесия, если оно достигается с положительной вероятностью, при условии, что игра играется в соответствии с выбранными равновесными стратегиями. В противном случае информационное множество находится вне траектории равновесия.

Требование 3. В информационных множествах, находящихся на траектории равновесия, веры игроков формируются по формулам Байеса с учетом равновесных стратегий.

Определение 6.2. Слабое секвенциальное равновесие состоит из стратегий и вер, удовлетворяющих требованиям 1—3.

Требования 1—3 составляют суть слабого секвенциального равновесия. Существенно новым здесь является то, что верам игроков отводится ведущее место в стратегиях, составляющих это равновесие. Формально равновесие теперь составляет нс только совокупность стратегий игроков, но оно также включает в себя и веры для каждого из информационных множеств, в которых игроки осуществляют ходы.

Таким образом, в рассмотренной выше игре на рис. 6.1 слабым секвенциальным равновесием является {(К,7);це[0;1]}.

Поясним требование 3 на примере игры, представленной на рис. 6.2.

Рис. 6.2.

Пусть Природа (датчик случайных чисел) на первом шаге выбирает ход т, п или к с вероятностями соответственно р = 0,2, р₂ = 0,3, р₂ = 0,5. При выборе Природой т или п ходит первый игрок, при выборе к игра заканчивается и т. д.

Как и ранее, можно привести эту игру к нормальному виду (биматричной игре).

Имеем единственное равновесие Нэша (Ьс; х). Поскольку информационное множество второго игрока находится на траектории равновесия, то требование 3 означает, что его веры согласно формулам Байеса формируются следующим образом:

В случае если информационное множество находится вне траектории равновесия, мы уже не вправе формировать веры на основании формул Байеса. И тогда следует просто определить, при каких верах стратегии игроков будут составлять равновесие Нэша.

Поясним сказанное на примере игры, представленной на рис. 6.3.

Рис. 63.

Нормализуем игру:

Здесь существует два равновесия Нэша: (ad; х) и (ad; у).

Рассмотрим равновесие Нэша (ad; х). При таких стратегиях игра не достигнет двухточечного информационного множества второго игрока. Это множество находится вне траектории равновесия. Тогда следует выяснить, при каких значениях веры ц для второго игрока ход х будет не хуже хода у. Для этого оцениваем по верам эти два хода:

Решаем неравенство.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Следовательно, является слабым секвенциальным равновесием Нэша.

Рассмотрим равновесие Нэша {ad; у). При таких стратегиях игра также нс достигнет двухточечного информационного множества второго игрока. Это множество находится вне траектории равновесия. Выясним, при каких значениях веры р для второго игрока ход у будет не хуже хода х. Для этого оцениваем по верам эти два хода, решая неравенство:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Следовательно, является слабым секвенциальным равновесием Нэша.