Содержательная и формализованная постановка задачи

Решение оптимизационных задач (процесс оптимизации) лежит в основе всей инженерной деятельности.

Эффективность метода оптимизации связана с одной стороны с умелым использованием основных результатов таких математических дисциплин, как:

• • математический анализ;
• • линейная алгебра;
• • математическая логика и теория алгоритмов;
• • функциональный анализ;
• • дифференциальное исчисление.

С другой стороны, в инженерной практике размер оптимизационных задач достаточно велик, следовательно, велики и затраты времени реализации алгоритмов. Поэтому оптимизационные задачи ориентированы в основном на реализацию на ЭВМ.

Ценность теории оптимизации состоит в её универсальности по отношению к различным классам задач.

Оптимизационная задача может быть частью задачи решаемой:

• • в математической экономике: решение больших макроэкономических моделей, моделей предпринимательства и т. д.;
• • автоматике: оптимальное управление, робототехника, фильтрация, управление производством;
• • технике: оптимальное планирование информационных и компьютерных сетей, оптимизация структур и параметров технических систем;
• • численном анализе: аппроксимация, регрессия, решение линейных и нелинейных систем управления и т. д.

Важнейшим элементом во всех этих задачах является формализованная (математическая) постановка задачи. При этом задачи различаются содержательной стороной.

Рассмотрим ряд содержательных и формализованных задач оптимизации.

Пример 1

Аппроксимация статической характеристики тсрмопрсобразователей.

Термоиреобразователь сопротивления служит для измерения температуры среды. Его действие основано на изменении сопротивления R чувствительного элемента (Pt, Си, А1Ка, СгСа н т. д.) от температуры измеряемой среды Т. Эта зависимость получена экспериментально в виде пары чисел.

представляет собой так называемую статическую характеристику датчика температуры и хранится в виде градуировочных таблиц ГОСТ 6651–84. Каждая из таблиц (а их реально используют более 10) содержит ориентировочно 1000 значений. Хранить подобные объемы данных нецелесообразно для любого технического средства, а в микропроцессорном контроллере — невозможно. Поэтому используют аппроксимацию табличных данных в виде регрессионного управления.

Известно, что величины R и Т связаны функциональной зависимостью:

где <�р — вид функциональной связи; а — вектор неизвестных коэффициентов уравнения связи.

Предполагаем, что структура регрессионного управления известна (полиномиальная, гармоническая и др.).

Например, в случае использования полиномиального уравнения второго порядка получаем аппроксимированные значения температуры Т:

Пример 2.

Транспортная задача

В городе имеются два кирпичных завода и три потребителя их продукции — строительные фирмы. Известны и приведены в табл. 1.1 суточные объемы производства кирпича, суточные потребности в нем строительных организаций и стоимость перевозки 1 гыс. кирпичей от каждого завода к каждой строительной фирме.

Таблица 1.1.

Исходные данные для транспортной задачи

Требуется составить план суточных перевозок кирпича таким образом, чтобы транспортные расходы были минимальны.

Приведенные задачи различаются содержательной (описательной) постановкой задачи и имеют специфику конкретных прикладных областей. Важнейшим моментом теории оптимизации является переход от содержательной постановки задачи к формализованной, то есть математической.

Стоит отметить, что решение задачи оптимизации — это всего лишь один этап в процессе формирования оптимального проекта для эффективного функционирования системы. Процесс инженерного проектирования циклический и включает следующие этапы, приведенные на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Процесс инженерного проектирования

Переход от содержательной к формализованной постановке задачи оптимизации включает ряд этапов, важнейшими из которых являются следующие.