Цепи с распределенными параметрами

Задача анализа цепей с распределенными параметрами

Общие сведения. Напомним, что цепями с распределенными параметрами называются идеализированные электрические цепи, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Токи и напряжения водномерной цепи с распределенными параметрами являются функциями двух переменных — времени t и координаты х.

Исторически сложилось так, что первыми в качестве одномерных цепей с распределенными параметрами стали представлять так называемые длинные линии, т. е. линии передачи энергии от источника к нагрузке, длина которых значительно превышает длину волны передаваемых электромагнитных колебаний. Поэтому одномерные цепи с распределенными параметрами часто называют длинными линиями или линиями, а уравнения (1.44), (1.45), описывающие зависимости между токами и напряжениями элементарного участка одномерной цепи с распределенными параметрами, — дифференциальными уравнениями длинной линии или телеграфными уравнениями. Будем использовать термины «длинная линия» или «линия» как синонимы термина «одномерная цепь с распределенными параметрами», помня при этом, что приведенная на рис. 1.42 схема элементарного участка одномерной цепи с распределенными параметрами и соответствующая ей система уравнений электрического равновесия (1.44) и (1.45) носят общий характер и могут быть применены не только для моделирования процессов в реальных линиях передачи, но и для приближенного представления многих других радиотехнических элементов и устройств в области достаточно высоких частот.

Одномерные цепи с распределенными параметрами, применяемые для моделирования различных реальных цепей и их элементов, отличаются одна от другой в основном значениями погонных параметров R_u L_1? С_1? G и характером их зависимости от координаты, времени или режима работы цепи. В линейных инвариантных во времени цепях с распределенными параметрами погонное сопротивление R_h индуктивность Lj, емкость С и проводимость утечки G не зависят от времени и режима работы цепи; они могут изменяться вдоль цепи по определенному закону либо иметь одинаковые значения на всех ее участках. Линейные инвариантные во времени цепи с распределенными параметрами, погонные параметры которых постоянны и не зависят от координаты, называются однородными (регулярными). Цепи, погонные параметры которых являются функциями координаты, называются неоднородными (нерегулярными).

В зависимости от того, какие процессы в исследуемой реальной цепи имеют преобладающий характер, а также от степени идеализации схема замещения элементарного участка линии может не содержать тех или иных из показанных на рис. 1.42 элементов. В соответствии с этим цепи с распределенными параметрами подразделяют на цепи общего вида (RLCG-линии), цепи без потерь (LC-линии), линии с потерями (LCR-линии), резистивно-емкостные (RC-линии), резистивно-индуктивные (KL-линии) и резистивные (RG-линии). Наиболее интересны процессы в линиях без потерь и в линиях общего вида с малыми потерями, которые используются в основном для моделирования реальных линий передачи и колебательных систем сверхвысоких частот. С развитием микроэлектроники возрос интерес к рассмотрению процессов в /?С-линиях, которые применяют в качестве моделей различных пассивных элементов интегральных микросхем (пленочных и диффузионных резисторов, конденсаторов, соединительных проводников и перемычек), а также к исследованию резистивных линий, которые служат для моделирования контактов к различным микроэлектронным элементам [17].

Общее решение дифференциальных уравнений длинной линии. Задача анализа цепей с распределенными параметрами обычно сводится к определению законов изменения токов и напряжений вдоль цепи и к исследованию частотных или временных характеристик цепи относительно внешних зажимов. С этой целью необходимо найти част;

Рис. 8.1. Схема замещения однородной длинной линии ные решения дифференциальных уравнений линии (1.44), (1.45) при соответствующих начальных и граничных условиях. В связи с тем, что решение данных уравнений в замкнутой форме для неоднородных линий может быть получено только при некоторых частных видах зависимостей погонных параметров от координаты, ограничимся рассмотрением однородной линии длиной / (рис. 8.1).

Для решения дифференциальных уравнений линии воспользуемся операторным методом, который позволяет перейти от решения дифференциальных уравнений в частных производных для мгновенных значений токов i = i (x, t) и напряжений и = и (х, t) линии к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, составленных относительно операторных изображений соответствующих токов 1{х, р) = i (x, t) и напряжений Щх, р) == и (х, t).

Умножая правую и левую части уравнений (1.44), (1.45) на е~^р' и интегрируя в пределах от t = 0 до t = °о, получаем.

где функции и (х, 0), i (x, 0) описывают распределение напряжения и тока вдоль линии при t — 0, т. е. определяют начальные условия задачи. В связи с тем, что в уравнениях (8.1) и (8.2) содержатся производные неизвестных функций U (x, р) и /(.г, р) только по одной переменной, частные производные этих функций по х заменены обыкновенными (полными) производными.

При нулевых начальных условиях уравнения (8.1), (8.2) принимают вид

где  — операторные погонное сопротивление и погонная проводимость линии.

Уравнения (8.3), (8.4) путем исключения переменных могут быть сведены к одному дифференциальному уравнению, составленному относительно тока или напряжения. Продифференцировав правую и левую части уравнения (8.4) по х и подставляя в него значение dl (x, p)/dx из уравнения (8.3), находим.

Аналогичный вид имеет и операторное уравнение рассматриваемой цепи, составленное относительно тока -1{х, р). Входящая в эти уравнения величина.

называется операторным коэффициентом распространения.

Таким образом, распределение операторных изображений токов и напряжений в линейной однородной инвариантной во времени цепи с распределенными параметрами описывается решениями линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, общее решение которого имеет вид.

где А (р), Л₂(р) — постоянные интегрирования, определяемые граничными условиями задачи, т. е. значениями неизвестных функций U (x, p) и 1(х, р) в начале (х = 0) или в конце (х = /) линии. Подставляя решение (8.7) в уравнение (8.4), находим выражение для операторного изображения тока линии Величина

называется операторным волновым сопротивлением линии.

Определяя значения постоянных интегрирования, соответствующие тем или иным граничным условиям, и подставляя их в выражения (8.7), (8.8), можно получить операторные изображения тока и напряжения в любом сечении линии при произвольном внешнем воздействии, а также найти любые частотные и временные характеристики исследуемой цепи.

Вопросы и задания для самопроверки

• 1. В чем принципиальные отличия цепей с распределенными параметрами (ЦРП) от цепей с сосредоточенными параметрами (ЦСП) в различных аспектах: 1) физическом; 2) математическом?
• 2. Дайте определение длинной линии (ДЛ).
• 3. Какие параметры ДЛ называются погонными и почему?
• 4. Чем отличается нерегулярная ДЛ от регулярной?
• 5. Перечислите основные классы ДЛ. Какие признаки линий были положены в основу классификации?
• 6. Охарактеризуйте ДЛ следующих классов: 1) LC-; 2) RC-; 3) RLC-; 4) RG-линии. Какие реальные устройства могут быть промоделированы с использованием этих классов ДЛ?
• 7. Какие дополнительные условия необходимо задать, чтобы найти распределение токов и напряжений вдоль одномерной цепи с распределенными параметрами при заданных параметрах источника энергии и нагрузки?
• 8. Перечислите основные этапы решения дифференциальных уравнений линии относительно изображений напряжений и токов в произвольном сечении ОДЛ.
• 9. Как и зачем определяют постоянные интегрирования?