Методы определения параметров парных уравнений регрессии

Расчет параметров прогнозной функции при изучении взаимосвязи двух временных рядов х, и у, основан на минимизации суммы квадратов отклонений расчетных значений переменной у, от исходных величин у,. Использование метода наименьших квадратов основано на предпосылках регрессионного анализа, приведенных в.

4.3.

При обнаружении автокорреляции, что было рассмотрено выше, для се исключения могут применяться следующие методы расчета: метод конечных разностей; метод исключения тенденций в динамике временных рядов с использованием трендов; метод Фриша-Воу.

Метод конечных разностей. В данном случае в качестве числовых величин, подлежащих обработке, выступают не исходные эмпирические значения уровней временных рядов, а абсолютные приросты или разности порядка к. Как было отмечено в главе 3, разности первого порядка Дл'¹¹ и Ду, используются, если связь между уровнями рядов близка к линейной, разности второго порядка Дх/²⁾ и Ду,⁽²>, если зависимость подчиняется параболическому закону. При сложных зависимостях следует использовать более сложные характеристики.

Рассмотрим порядок расчетов на предыдущем простом примере. Объект характеризуется динамикой уровней двух временных рядов: среднегодовой стоимостью капитала (л,) и объемом продаж за год {у,). Капитал является одним из производственных факторов, а объем продаж результатом деловой активности. Предположим, что переменные связаны между собой линейной зависимостью. Определим разности первого порядка :

Оформим расчет в таблице, уравнение регрессии будет иметь вид:

Таблица 4.3.

Для вычисления параметров уравнения (4.28) используем метод наименьших квадратов. Система нормальных уравнений, в которой неизвестными являются параметры а₀ и а, а разности первого порядка вычислены по эмпирическим значениям, будет иметь вид:

Подставим в уравнения итоги таблицы 4.2 и получим систему линейных уравнений:

Решение: а₀ = 0,6; а, = 0,4 .

Уравнение регрессии имеет вид:

Опустив статистическую оценку надежности параметров уравнения регрессии и корреляции, заметим, что при условии их надежности уравнение (4.29) можно использовать для прогнозирования приращения переменной у, в зависимости от предполагаемого изменения х,. Например, если в следующем году / имеется финансовая возможность увеличения капитала на 0,5 единицы, то объем продаж увеличится на 0,8 единицы .

Уравнения, рассчитанные по конечным разностям, имеют один существенный недостаток. Они не позволяют в непосредственной форме определить абсолютное значение функции на перспективу. Вычислительная процедура предполагает операцию суммирования ожидаемого приращения зависимой переменной с уровнем функции в предпрогнозном периоде.

Метод исключения тенденции. Метод основан на замене исходных уровней временных рядов отклонениями е, у, рассчитываемых по временным трендам:

Прогнозная функция может быть записана в виде:

Система нормальных уравнений для отклонений будет иметь вид:

В уравнениях ^е, являющиеся суммами отклонений эмпирических значений уровней от их трендов, ничтожно малы так, что ими можно пренебречь. В упрощенном виде получаем уравнение:

Уравнение дает возможность определить ожидаемое отклонение зависимой переменной у, от установленного тренда по заданному отклонению независимой переменной е,. Если нужно рассчитать абсолютную величину уровня на предстоящий период, то в уравнении следует заменить отклонения e_t и у, по формулам в случае линейных трендов:

Подставив их в выражение у, — ^а?, > получим:

В итоге получаем уравнение регрессии, в котором наряду с независимой переменной х_: присутствует еще фактор времени t. При этом включение фактора времени в модель повышает точность расчетов, т.к. дополнительная переменная обобщает воздействие всех факторов, изменяющихся со временем, но неучтенных в уравнении регрессии в явном виде: y_v = f (x, t).

Для рассмотренного выше примера имеем тренды х, =7,7+ 0,4-/ и у =4,8 + 0,6 /. Чтобы рассчитать коэффициент регрессии а подставим суммы найденных ранее отклонений. В результате вычислений получаем:

Выразим ?_t и у_п используя тренды:

Подставим полученные зависимости в уравнение регрессии (4.30).

Уравнение у, = -0,59 + 0,7х, +0,32 г может использоваться для разработки прогнозов. Вначале следует определить ожидаемое значение переменной х, на предстоящий период, например, при помощи временного тренда, уравнения авторегрессии или экспертных оценок.

Предположим, / = 11, тогда х_Ы| =7,7+0,4−11 = 12,1,.

Метод Фриша-Воу. Метод основан на непосредственном включении фактора времени t в виде линейного члена в уравнение регрессии y_t = f (x, t). Так же, как в предыдущем методе, включение времени наряду с другими независимыми переменными позволяет выделить регрессию на неучтенные в явном виде факторы, связанные со временем. Показано (7, с.90), что параметры модели можно рассчитать без предварительного выявления тенденций изменения временных рядов и нахождения отклонений е, и у, ? Уравнение имеет вид:

Система нормальных уравнений имеет вид:

Для рассмотренного выше примера вычислим недостающие суммы и представим их в таблице. _Таблица 4.4.

Решаем систему уравнений.

и получаем параметры а = -0,6;/? = 0,7;с = 0,32. Уравнение регрессии совпадает с уравнением, найденным по второму методу при расчете отклонений е, и у,. Сравнение рассмотренных процедур расчета параметров парных уравнений регрессии для целей прогноза приводит к выводу, что при прочих равных условиях менее трудоемким является последний способ.

Несмотря на совпадение параметров во втором и третьем способах, характеристики тесноты связи и ошибок коэффициентов регрессии во всех трех случаях будут различаться.