Понимание математики младшими школьниками

Вопросы для обсуждения

• 1. Что такое понимание? Каково соотношение между знанием и пониманием?
• 2. В чем трудности понимания математики школьниками?
• 3. Что закодировано текстом математической задачи?
• 4. В чем объективные трудности понимания смысла математических объектов, неявно заданных текстом на повседневном языке?
• 5. Каково соотношение субъективного понятийного образа математического объекта и его объективного содержания?
• 6. В чем причины непонимания математики учащимися?
• 7. Как создается наглядно-пространственный когнитивный компонент понятийного образа математического объекта, информация о котором закодирована словами повседневного языка?
• 8. Можно ли при переводе математической информации ограничиваться только рациональными формами мышления?
• 9. Каковы когнитивные компоненты понятийного образа?
• 10. Каковы требования прагматики к построению обучающего диалога?

Одна из главных задач, стоящих перед детьми, — понимание мира, в котором они живут. Освоение мира включает не только знания о мире, но и понимание отображаемого в знании объективного мира и понимание самого знания. Понимание предопределяет осмысленное поведение, возможность ориентации в социальной жизни, культуре, истории. В самом общем виде понимание характеризуется как универсальная познавательная способность, одна из важнейших сторон человеческого освоения мира^[1].

Понимание тесно связано со знанием, но не совпадает с ним. Можно знать и не понимать. Так, чтобы найти сумму 27 + 8 достаточно знать соответствующий прием, а понимать, почему надо действовать так, не обязательно. В то же время решение задачи: «Когда из бочки взяли 8 л воды, в ней осталось 27 л. Сколько литров воды было в бочке первоначально?» требует не только знания понятий, неявно представленных текстом, но и понимания связей и зависимостей между ними. Понимание, с одной стороны, выражает определенное состояние познающего субъекта, а с другой — обусловлено природой и структурой познаваемого объекта.

Познание математики — это сложный процесс формирования понятийных форм знания. В математике понятными считаются факты, явления, теории, которые укладываются в рациональную схему — результат рефлексии над знанием. Особый онтологический статус математических объектов — идеальных абстракций, создаваемых активной деятельностью сознания в процессе освоения окружающего мира, — является объективным фактором, препятствующим пониманию математики учащимися. Под влиянием присущей человеку тенденции к опредмечиванию идеального, математические абстракции выступают как нечто вполне конкретное посредством их представления знаками, придающими математической реальности определенную форму, нередко отождествляемую учащимися с самим обозначаемым объектом.

• 0 необходимости понимания математики и причинах ее непонимания в процессе обучения размышляли такие педагоги-математики, как Ж. Адамар, А. Пуанкаре, А. Н. Колмогоров, В. А. Успенский, В. А. Гусев, В. Г. Дорофеев и другие. Среди причин непонимания были выделены:
  • • сообщение учащимся лишь конечного результата творческих усилий математиков, который требуется только воспроизвести;
  • • сложность логической и грамматической структуры текстов, определяющих математические понятия;
  • • недостаточность наглядных представлений изучаемых понятий;
  • • перенос акцента в обучении на овладение искусством оперировать знаками в ущерб развитию способности оперировать понятиями;
  • • недостаточность умений правильно последовательно рассуждать;
  • • использование преимущественно рациональных форм познания и игнорирование образных форм.

Так как математическое знание представляется только текстами, то его понимание предполагает выявление смысла текста, его интерпретацию, т. е. воссоздание внеязыковой реальности, кодом которой данный текст является. Эта внеязыковая реальность является понятийным образом в индивидуальном сознании. Обратная процедура: создание текста, кодирующего понятийный образ, сконструированный в процессе деятельности познающего субъекта в реальном мире, решает проблему обозначения результата полученного в процессе познания.

Направленность обучения на понимание математики требует выявить такие средства описания, которые способствовали бы созданию условий для формирования в сознании ребенка понятийного образа познаваемого объекта, адекватного его объективному содержанию. Такие средства должны обеспечить полноту представленности в понятийном образе его структурных когнитивных компонентов. По мнению М. А. Холодной, обязательными когнитивными компонентами ментального понятийного образа являются вербально-речевой, чувственно-сенсорный, визуальнопространственный, операционально-логический, операционально-символический^[2].

Формирование вербально-речевых компонентов будет тем успешнее, чем большим набором средств выражения, доступных детям, обладает педагог. Так, преобразование текста приведенной выше задачи позволяет быстрее и полнее достигнуть понимания, если заметить, обращаясь к здравому смыслу, что было столько воды, сколько взяли и сколько осталось. Чувственно-сенсорный компонент формируется в процессе действий детей с предметами. В данном случае такими действиями могут быть действия с переливанием, что вместе с изображением проблемной ситуации рисунком ведет к формированию визуально-пространственных компонентов понятийного образа.

Операционально-логические компоненты формируются в процессе выделения количественных характеристик рассматриваемой ситуации, которые и служат предметом познания. Изображение этих характеристик условными знаками (в данном случае отрезками соответствующей длины) позволяет представить наглядно не только сами характеристики, но и связи и зависимости между ними, что приводит к «открытию» искомого объекта. Так, в рассматриваемом примере устанавливается, что искомый объем есть сумма объемов взятой и оставшейся воды, а его числовое значение есть сумма известных числовых значений. Несомненно, это суждение имеет подтекст (имеющиеся представления о величинах данного рода и сложении чисел — мер величины), а понимание обусловлено явно выраженной целью деятельности. Действия с общепринятыми знаками формируют операционально-символический компонент понятийного образа объекта, заданного исходным текстом.

В результате действий над знанием учащийся получает представление о структурных элементах, из которых состоит исходное знание и о связях, существующих между ними. Такое представление — момент понимания, не сводимый к знанию; чтобы понять наличное знание, надо выйти за его пределы.

Формирование когнитивных компонентов понятийного образа позволяет, во-первых, преодолевать логическую и грамматическую сложность тестов, описывающих знание, наглядно представлять изучаемые понятия, получать результат в процессе последовательного рассуждения, использовать не только рациональные, но и образные сферы мышления. Тем не менее видеть в таком подходе единственное средство понимания — несомненное упрощение. Понимание как осмысление связано с переживанием, интуитивным постижением сути дела, нередко неосознаваемым и невербализуемым.

Так как идеальные абстрактные математические объекты «материализуются» только знаками некоторой семиотической системы — текстом в широком смысле слова, то понимание математики можно рассматривать на различных семиотических уровнях.

На синтаксическом уровне понимание определяется овладением учеником формальными правилами построения и преобразования выражений математического языка, выявляющими их смысл как элементов системы, структурированной данными правилами. Например, уже в первом классе ребенок осваивает правила действий и отношения между числами, в которых выявляются их свойства. Но освоение искусства оперировать знаками не может обеспечить полноценного понимания математики. Математика не шахматная игра, все содержание которой определяется правилами. В то же время на синтаксическом уровне формируется такая универсальная познавательная способность, как способность действовать по инструкции, выделять класс задач, решение которых обеспечивается конкретным алгоритмом. Возникающая при этом психологически закономерная тенденция рассматривать привычные знаковые формы как атрибут выражаемого ими содержания нивелируется переходом к пониманию на семантическом уровне.

Так как смысл — это инвариант того, что есть у различных предложений, являющихся «правильными» переводами друг друга, то альтернативные описания одной и той же предметной области позволяют представить смысл как многократное указание объекта познания. Причем рассматриваются не любые возможные описания, а только такие, которые совместимы с целями и задачами познания. Смысл, таким образом, оказывается зависимым от широкого познавательного, коммуникативного и деятельностного контекстов.

В то же время перевод — в принципе неформализуемое действие и не может осуществляться только рациональным мышлением. Так как процесс перевода, выявляющий внеязыковую математическую реальность, закодированную исходным сообщением, и выражающий эту реальность на другом языке, неформализуем, то понимание математики является творческим актом, вследствие чего включает в процесс познания интуитивно-образные сферы мышления, а в процесс понимания неявное знание. Выявление смысла сообщения в процессе перевода существенным образом определяется использованием семиотически неоднородных языков, обеспечивающих как дискретное, так и непрерывное представление информации. Языком, средствами которого кодируется непрерывно и наглядно собственно математическое содержание, представленной дискретно проблемной ситуации, в начальном математическом образовании служит язык визуальной семантики^[3], исходными знаками которого являются знаки-индексы.

Формирование понятийного образа математического объекта, адекватного его объективному содержанию, язык визуальной семантики обеспечивает за счет того, что удовлетворяет следующим требованиям:

• 1) кодирует математические понятия согласно их определению;
• 2) является доступным для младшего школьника, а его использование — естественный элемент процесса обучения как средства наглядности;
• 3) представляет те характеристики ситуации, которые в исходном сообщении не выражены явно;
• 4) обеспечивает в структуре понятийного образа формирование визуально-пространственных компонентов, т. е. создание визуального образа (эйдоса) объекта;
• 5) способствует созданию такого понятийного образа, что без изменений уже имеющейся структуры его состав может расширяться, обогащаться, усложняться по мере накопления учащимся математического опыта, выявлять связи с другими понятиями.

На семантическом уровне процесс смыслообразования в форме понятийного образа завершается обозначением данной математической реальности некоторым специальным знаком.

На прагматическом уровне понимание осуществляется в результате диалога субъектов познавательного процесса. Понимание диалогично, но своей сути. Диалог возможен, если его участники не только включают сообщения собеседника в свой привычный набор смыслов и стараются воспринять способ осмысления, характерный для собеседника, но и осуществить частичный выход за пределы привычного, позволяющего найти какие-то моменты, обеспечивающие понимание.

В процессе смыслообразования участники диалога взаимодействуют не только на уровне понятий, но и на уровне переживания. Участникам диалога часто необходимо отказываться от установившихся взглядов и позиций, что сопровождается сильными эмоциональными нагрузками вплоть до открытого отказа от диалога. При этом однозначная формулировка имеющегося знания может затруднить его передачу, так как содержание сообщения связано с ассоциациями, в случае отсутствия которых у принимающего сообщение понимания не возникает. Более эффективными являются гибкие, вероятностные соотношения внешних и внутренних уровней сообщения, что обеспечивает принимающему сообщение субъекту большую свободу восприятия. Во всяком случае, учителю необходимо помнить, что ученик может понять только то, к пониманию чего он подготовлен, а эффективность коммуникации определяется степенью изменения системы знаний, которыми располагает ученик. Причем объяснение как важнейшая функция учителя всегда предопределяется его пониманием соответствующего знания.

Рассмотрим следующий пример объяснения.

Пример. Объяснение, цель которого — понимание учащимися значения скобок в записи арифметических выражений.

Учитель: Расскажите, как вы найдете значение выражения 7 — 3 + 2? (осмысление известного).

Ученик: Сначала вычту 3 из 7, получу 4, затем к 4 прибавлю 2, получу 6.

Учитель: А Незнайка получил в ответе 2. Как он считал?

Ученик: Я догадался, сначала он сложил 2 и 3, затем из 7 вычел 5. Вот и получил 2!

Учитель: Чем отличается вычисление Незнайки от вашего?

Ученик: Мы сначала выполнили вычитание, потом — сложение, а Незнайка наоборот — сначала сложение, потом — вычитание. Вот и получились разные ответы.

Учитель: Да, Незнайка изменил порядок действий и получил другой ответ.

Ученик: Значит, значение выражения зависит от того, в каком порядке выполняются действия (представление результата осмысления в вербально-речевой форме).

Учитель: Чтобы у всех получались одинаковые результаты вычислений, порядок действий указывают скобками. Действия в скобках выполняют первыми. Как с помощью скобок записать выражение, значение которого вычислял Незнайка?

Ученик: Это выражение 7 — (3 + 2).

Ученик: А выражение, значение которого вычисляли мы, (7 — 3) + 2.

Учитель: Если действия надо выполнить по порядку, то скобки можно не ставить. Укажите, какое действие надо выполнить первым в выражениях:

• 7+ (8−5) (12 — 7) — 3 10−5 + 4
• (7+ 8)-5 12−7-3 10-(5+ 4)
• 7 + 8−5 12-(7−3) (10−5)+4

Учитель: Зачем нужны скобки? Какое правило надо знать, чтобы значение выражения всеми вычислялось одинаково?

Понимание нового знания необходимо связано с его целью, с ответом на вопрос, зачем это знание нужно.

Таким образом, несмотря на то что понимание математики само по себе не может утверждать или опровергать понимаемое знание, оно необходимо для систематизации и совершенствования знания. Понимание связано с целесообразностью познаваемого, в силу чего знание математики без понимания зачастую становится ненужным грузом. Понимание математики является в то же время существенным фактором развития когнитивных способностей ребенка.

Задания для самостоятельной работы

• 1. Подготовьте эссе на тему «Мои ожидания от изучения дисциплины „Методика преподавания математики в начальной школе“».
• 2. Подготовьте сообщения по следующим темам.
• • Особенности математики как предмета познания в начальной школе.
• • Способы кодирования математической информации в начальном образовании (подтвердите свои утверждения примерами из учебников для начальной школы).
• • Когнитивные компоненты понятийного образа математического объекта: возможности их формирования в процессе обучения.
• • Синтаксические аспекты понимания математики младшими школьниками.
• 3. Раскройте значение и смысл любого математического понятия из учебника для начальной школы.
• 4. Подготовьте выступления по следующим темам.
• • Диалог в процессе обучения математике. Требования прагматики.
• • Как я понимаю, что такое визуальная семантика.
• 5. Подготовьте развернутый ответ на вопрос: «Почему понимание математики является необходимым условием саморазвития ученика?»

• [1] Философский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1989. С. 494.
• [2] Холодная М. Л. Психология интеллекта: парадоксы исследования. СПб.: Питер, 2002.
• [3] Шадрина И. В. Понятийные образы в начальном математическом образовании // Гер-цеиовские чтения. Начальное образование. Т. 2. Вып. 1. Инновации в начальном образовании: проблемы, поиски, решения. СПб.: ВВМ, 2011. С. 143—148.