Исследование неустановившегося движения газа в пористой среде (дифференциальное уравнение Лейбензона)

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г. В. Плеханова КУРСОВАЯ РАБОТА По дисциплине: Подземная гидромеханика Тема: Исследование неустановившегося движения газа в пористой среде (дифференциальное уравнение Лейбензона) Выполнил: студент гр. НГ-09−2.

Черепанов Н.В.

Проверил:

Руководитель: Максютин А.В.

Санкт-Петербург.

• Введение
• 1. Цель и задачи курсовой работы
• 2. Дифференциальные уравнения неустановившейся фильтрации газа
• 2.1 Вывод дифференциального уравнения Лейбензона
• 2.2 Вывод дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа по двучленному закону
• 3. Линеаризация уравнения Лейбензона и основное решение линеаризованного уравнения
• 4. Примеры числовых расчетов и графических решений
• 4.1 Исследование прямолинейно-параллельного установившегося фильтрационного потока несжимаемой жидкости по закону Дарси в однородном пласте
• 4.2 Исследование плоскорадиального установившегося фильтрационного потока несжимаемой жидкости в однородном пласте
• 4.3 Исследование одномерного прямолинейно-параллельного установившегося фильтрационного потока несжимаемой жидкости в неоднородном пласте
• 4.4 Исследование одномерного плоскорадиального установившегося фильтрационного потока несжимаемой жидкости в неоднородном пласте
• Заключение
• Список использованной литературы

Подземная гидромеханика — наука о движении жидкостей, газов и их смесей в пористых и трещиноватых горных породах. Она является той областью гидромеханики, в которой рассматривается не движение жидкостей и газов вообще, а особый вид их движенияфильтрация, которая имеет свои специфические особенности. Она служит теоретической основой разработки нефтяных, газовых и газоконденсатных месторождений. Вместе с тем методами теории фильтрации решаются важнейшие задачи гидрогеологии, инженерной геологии, гидротехники, химической технологии и т. д. Гидромеханика находит свои приложения во многих областях: в авиации и кораблестроении, атомной энергетике и гидроэнергетике, гидрогеологии и водоснабжении, теплотехнике, метеорологии и химической технологии. Особое значение имеет применение гидромеханики в разнообразных технологических процессах нефтяной и газовой промышленности, включая фильтрацию жидкостей и газов в природных пластах, их движение в трубопроводах и аппаратах. Для этих применений она является базовой научной дисциплиной. Расчет притоков жидкости к искусственным водозаборам и дренажным сооружениям, изучение режимов естественных источников и подземных потоков, расчет фильтрации воды в связи с сооружением и эксплуатацией плотин, понижением уровня грунтовых вод, проблемы подземной газификации угля, задачи о движении реагентов через пористые среды и специальные фильтры, фильтрация жидкостей и газов через стенки пористых сосудов и труб — вот далеко не полный перечень областей широкого использования методов теории фильтрации.

1. Цель и задачи курсовой работы.

В ходе данной курсовой работы нам необходимо произвести расчеты таких пластовых процессов как:

· Прямолинейно-параллельная установившаяся фильтрация однородной несжимаемой жидкости по закону Дарси в однородном пласте (приток к галерее);

· Плоскорадиальная установившаяся фильтрация однородной несжимаемой жидкости по закону Дарси в однородном пласте (приток к совершенной скважине);

· Прямолинейно-параллельная установившаяся фильтрация однородной несжимаемой жидкости в неоднородных пластах;

· Плоскорадиальная установившаяся фильтрация однородной несжимаемой жидкости в неоднородных пластах.

Целями выполнения курсовой работы являются:

1) углубление и закрепление теоретических знаний, полученных студентами во время лекционных, лабораторных и практических занятий;

2) выработка навыков самостоятельного применения теории, привлечения дополнительных данных, анализа практических данных, оценки и проверки правильности решения;

3) закрепление навыков расчета с применением вычислительной техники, привлечения справочно-реферативной литературы, оформления и ведения инженерно-технической документации.

Выполнение курсовой работы направлено на решение следующих задач:

1) привитие навыков самостоятельной работы с учебной и научной литературой;

2) выработка аналитического мышления при изучении и решении поставленных вопросов и задач;

3) выработка умения грамотно и сжато излагать суть вопроса, поставленного в теме курсовой работы;

4) привитие навыков выполнения расчетов по формулам, применения системы единиц измерения СИ и других единиц измерения;

5) привитие умения делать анализ, комментировать и оценивать полученные результаты — давать физическую их интерпретацию и формулировать выводы по проведенной работе;

6) привитие навыков оформления курсовой работы согласно требованиям, предъявляемым к инженерно-технической документации, в соответствии с ЕСКД.

2. Дифференциальные уравнения неустановившейся фильтрации газа.

2.1 Вывод дифференциального уравнения Лейбензона.

Основы теории движения газа в пористой среде были разработаны основателем советской школы нефтегазовой гидромеханики академиком Л. С. Лейбензоном. Он впервые получил дифференциальные уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа в пласте по закону Дарен. Полученное им нелинейное дифференциальное уравнение параболическою типа впоследствии было названо уравнением Лейбензова.

При выводе указанного уравнения предполагалось, что коэффициенты пористости и проницаемости не изменяются с давлением, т. е. пласт недеформируем, вязкость газа также не зависит от давления, газ совершенный. Принимается также, что фильтрация газа в пласте происходит по изотермическому закону, т. е. температура гида и пласта остается неизменной по времени. Впоследствии один из учеников Л. С. Лейбензона — Б. Б. Лапук в работах, посвященных теоретическим основам разработки месторождений природных газов. Показал, что неустановившуюся фильтрацию газа можно приближенно рассматривать как изотермическую, так как изменения температуры газа, возникающие при изменении давления, в значительной мере компенсируются теплообменом со скелетом пористой среды, поверхность контакта газа с которой огромна. Однако при рассмотрении фильтрации газа в призабойной зоне неизотермичность процесса фильтрации сказывается существенно вследствие локализации основного перепада давления вблизи стенки скважины. Кстати, на этом эффекте основано использование глубинных термограмм действующих, скважин для уточнения профиля притока газа по толщине пласта (глубинная дебитометрия). При рассмотрении процесса фильтрации в пласте в целом этими локальными эффектами допустимо пренебрегать.

Для вывода дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа воспользуемся уравнением, которое справедливо для любого сжимаемого флюида.

(1).

где коэффициенты проницаемости (k) и вязкости (динамической) постоянны.

Функция Лейбензона для совершенного газа определяется по формуле.

(2).

Продифференцируем выражение (2) по координатам 2 раза.

^{, ,}.

(3).

Преобразуем правую часть уравнения (1). Считая пористость т₀ постоянной и учитывая, что для совершенного газа получим:

(4).

^. (5).

Подставив выражения (3) и (5) в уравнение (1), получим:

(6).

Выражение в скобке представляет собой оператор Лапласа относительно р², поэтому уравнение (6) можно кратко записать в виде.

. (7).

Полученное дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации совершенного газа (6) называется уравнением Л. С. Лейбензона и представляет собой нелинейное уравнение параболического типа. Подчеркнем, что оно справедливо для совершенного газа при выполнении закона Дарси. Изменением коэффициента пористости пренебрегают потому, что он входит в уравнение (1) в виде произведения, в котором плотность газа меняется в гораздо большей степени, чем пористость.

Уравнение Лейбензона (6) можно записать по-другому, умножив правую и левую части на давление р и заменив.

;

(8).

В такой записи под знаками производных по координатам и по времени находится одна и та же функция р², но коэффициент в правой части kp/() переменный, в него входит искомая функция р (х, у, z, t).

Нетрудно показать, что неустановившаяся фильтрация реального газа с уравнением состояния и с учетом зависимости коэффициента вязкости от давления и недеформируемости пористой среды (=const, k =const) описывается следующим нелинейным дифференциальным уравнением параболического типа.

(9).

Для решения конкретных задач, связанных с неустановившейся фильтрацией газа, дифференциальное уравнение в форме (6) или (8) должно быть проинтегрировано по всей области газовой залежи при заданных начальных и граничных условиях. Простейшие виды этих условий следующие.

Продуктивный пласт или выделенную из него часть можно рассматривать как некоторую область пространства, ограниченную поверхностями — границами. Границы могут быть непроницаемыми для флюидов, например кровля и подошва пласта, сбросы и поверхности выклинивания. Граничной поверхность является также поверхность, по которой пласт сообщается с областью питания, (с дневной поверхностью, с естественным водоемом), это так называемый контур питания; стенка скважины служит внутренней границей пласта.

Чтобы получить решение системы уравнений, к ним необходимо добавить начальные и конечные условия.

Начальное условие заключается в задании искомой функции во всей области в некоторый момент времени, принимаемый за начальный. Например, если искомой функцией является пластовое давление то начальное условие может иметь вид.

при t=0(9.1).

т.е. в начальный момент задается распределение давления во всем пласте.

Если в начальный момент пласт не возмущен, то начальное условие примет вид.

при t=0.(9.2).

Граничные (краевые) условия задаются на границах пласта. Число граничных условий должно быть равно порядку дифференциального уравнения по координатам.

Возможны следующие граничные условия.

І. На внешней границе Г:

1). постоянное давление.

p (Г, t)=p_к=const, (9.3) т. е. граница является контуром питания;

2). Постоянный переток через границу при выполнении закона Дарси.

.

где n — нормаль к границе Г, откуда следует, что.

; (9.4).

3). Переменный переток через границу.

; (9.5).

4). Замкнутая внешняя граница.

; (9.6).

5). Бесконечный по простиранию пласт.

. (9.7).

ІІ. На внутренней границе:

6). Постоянное давление на забое скважины радиусом r_c.

при (9.8).

7). Переменное давление на забое скважины.

при (9.9).

8). Постоянный дебит; это условие при выполнении закона Дарси можно представить следующим образом:

(9.10).

при (9.11).

где — площадь боковой поверхности скважины; h — толщина пласта;

9). Переменный дебит.

при; (9.12).

10). Отключение скважины.

при ;(9.13).

Так как уравнение (6) или (8) представляет собой сложное нелинейное уравнение в частных производных, оно в большинстве случаев не имеет точных аналитических решений. Его можно проинтегрировать численно с помощью ЭВМ или решить приближенным способом. Приближенные способы хорошо разработаны.

Численные методы решения различных задач фильтрации газа на основе уравнения Л. С. Лейбензова также достаточно хорошо обоснованы в приложениях к проблемам разработки месторождений природных газов. При этом наибольшее распространение получили методы конечных разностей и конечных элементов. Вместе с тем, развитие теории. фильтрации газов, вызванное требованиями практики разработки газовых месторождений, и, в частности, изменением горно-геологических условий их залегания (большие глубины, высокие давления и температуры, многокомпонентностъ газа и т. д.) потребовало учета в основном уравнении, предложенном Л. С. Лейбензоном, многих дополнительных факторов. Так, оказалось что использование функции Лейбензона в форме (2) допустимо при небольших давлениях, в условиях недеформируемых пластов. При достаточно больших давлениях в условиях деформируемых коллекторов под знак интеграла в формуле (2) необходимо внести зависимости изменения проницаемости, вязкости и коэффициента сверхсжимаемости газа от давления. При неизотермической фильтраций во многих случаях необходимо учитывать также изменение свойств газа от температуры.

Уравнение (6) получено с использованием в качестве уравнения движения закона Дарси. Вместе с тем, последующие исследования И. А. Чарного, Е. М. Минского и других показали, что при фильтрации газов в природных пластах в большинстве случаев следует пользоваться нелинейным (двучленным) законом фильтрации. Математические труд-ности в решении получающегося при этом дифференциального уравнения еще более возрастают.

Отметим, что одним из эффективных путей решения уравнения Лейбензона является линеаризация, т. е. сведение его к линейному уравнению Фурье. Как покажем при дальнейшем рассмотрении, в некоторых практических случаях использование различных способов линеаризации уравнения (6) позволяет получать приближенные решения, удовлетворяющие требованиям практики.

2.2 Вывод дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа по двучленному закону.

Будем считать пласт недеформируемым, фильтрацию изотермической и происходящей по двучленному закону. Рассмотрим плоскорадиальный поток к осесрмметрично расположенной скважине.

Воспользуемся уравнением неразрывности для плоскорадиального движения.

. (10).

Воспользовавшись выражением для массовой скорости, получиминеар

(11).

(12).

Подставив выражения (11), (12) и (5) в уравнение неразрывности (10) и сократив на, получим.

(13).

Где.

Если сделать замену, то дифференциальное уравнение.

неустановившейся фильтрации газа по двучленному закону примет следующий вид.

(14).

Аналитическое решение уравнения (14) наталкивается на значительные трудности, однако численное решение для обычных в подземной гидромеханике начальных и граничных условий не представляет затруднений.

3. Линеаризация уравнения лейбензона и основное решение линеаризованного уравнения.

Если заменить нелинейное дифференциальное уравнение (8) линейным, т. е. линеаризовать его, то оно упростится — для линейного уравнения существуют точные аналитические решения. Ясно, что эти точные решения линеаризованного уравнения будут приближенными для нелинейного. Оценить погрешность решения, которая возникает при замене точного уравнения линеаризованным, можно, например, сравнивая приближенное решение с решением на ЭВМ точного уравнения.

Были предложены различные способы линеаризации уравнения (8). Если рассматривается плоскорадиальный приток к скважине, то из теории установившейся фильтрации газа, воронка депрессии очень крутая, и в большей части пласта давление мало отличается от контурного. На этом основании Лейбензон предложил заменить переменное давление р в коэффициенте уравнения (8) на постоянное давление равное начальному давлению в пласте. Тогда, обозначив, получим вместо уравнения (8) уравнение.

(15).

которое является линейным уравнением пьезопроводности относительно функции р2 где — константа, аналогичная коэффициенту пьезопроводности. Такой способ линеаризации, когда переменный коэффициент и в уравнении (15) при различных значениях давления принимается константой, называется линеаризацией по Лейбензону. В дальнейшем различными авторами были предложены уточнения к линеаризации по Лейбензону. Так, И. А. Чарный предложил свести уравнение (8) к линейному заменой переменного давления в коэффициенте на значение.

где — максимальное и минимальное давления в газовой залежи на расчетный период.

Используем линеаризованное уравнение (15) для решения конкретной задачи о притоке газа в скважину бесконечно малого радиуса (точечный сток), расположенную в пласте бесконечной протяженности с постоянной толщиной h. В начальный момент времени пласт невозмущен, т. е. давление во всем пласте постоянно и равно р2. С этого момента начинается отбор газа с постоянным дебитом Qат. Нужно найти изменение давления по пласту с течением времени p (r, t).

Для плоскорадиальной фильтрации газа (15) запишется следующим образом.

(16).

Здесь выражение представляет собой оператор Лапласа.

в полярных координатах относительно квадрата давления для плоско-радиального движения.

Уравнение (16) надо проинтегрировать при начальном условии.

при t=0,. (17).

и при граничном условии в удаленных точках при t>0, .

Выведем условие для давления на забое скважины. Для этого запишем выражение для массового дебита исходя из закона Дарси в дифференциальной форме для плоскорадиальной фильтрации:

Использовав равенства.

и сократив на, получим:

Из этого соотношения выразим условие на стенке газовой скважины бесконечно малого радиуса:

при r=0.

Решением поставленной задачи для упругой жидкости является основная формула упругого режима :

(20).

Аналогия между фильтрацией упругой жидкости и газа свидетельствует о том, что, заменив в формуле (20) давление на р2, a — на, -на получим решение поставленной задачи для, газа.

(21).

(22).

Это и есть основное решение линеаризованного уравнения Лейбензона.

Для малых значений аргумента можно заменить интегральную показательную функцию логарифмической.

(23).

(24).

Подчеркнем, что решения (21)-(24) являются приближенными, так как получены в результате интегрирования линеаризованного уравнения (16), а не точного (6).

Формулы (22) и (24) определяют (при фиксированных значениях времени t) распределение давления вокруг газовой скважины, работающей с постоянным дебитом с момента t = 0. Эти депрессионные кривые имеют такой же характер, как при установившейся фильтрации — они очень крутые вблизи скважины (рис. 1. а). Если задать значение r, то можно найти изменение давления в данной точке с течением времени. В частности, можно найти изменение давления на забое (при r =) после начала работы скважины (рис. 1.б).

(25).

4. Примеры числовых расчетов и графических решений.

4.1. Исследование прямолинейно-параллельного установившегося фильтрационного потока несжимаемой жидкости по закону дарси в однородном пласте.

Задача:

Определить закон распределения давления, градиента давления и скорости фильтрации по длине пласта (в математическом и графическом виде), дебит галереи, закон движения частиц жидкости и средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление при следующих исходных данных:

Таблица 4.1.1 Исходные данные.

где — давление на контуре питания;

— давление на стенке галереи;

— длина пласта;

— проницаемость;

— динамическая вязкость жидкости;

— ширина пласта;

— толщина пласта;

— пористость.

Рис. 4.1.1.Схема прямолинейно-параллельного фильтрационного потока в пласте Решение:

1) Определение закона распределения давления:

(1.1).

Рис. 4.1.2.График распределения давления в пласте (пьезометрическая линия).

2) Определение градиента давления:

.

Рис. 4.1.3.График распределения градиента давления в пласте.

3) Определение скорости фильтрации:

Рис. 4.1.4.График распределения скорости фильтрации в пласте.

4) Определение дебита галереи:

5) Определение закона движения частиц жидкости:

.

6) Средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление:

4.2 Исследование плоскорадиального установившегося фильтрационного потока несжимаемой жидкости в однородном пласте.

Задача:

Определить закон распределения давления, градиента давления и скорости фильтрации по длине пласта (в математическом и графическом виде), дебит скважины, закон движения частиц жидкости и средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление при следующих исходных данных:

Таблица4. 2.1 Исходные данные.

где — давление на контуре питания;

— давление на забое скважины;

— радиус контура питания;

— радиус скважины;

— динамическая вязкость жидкости;

— толщина пласта;

— проницаемость;

— пористость.

Рис. 4.2.1.Схема плоскорадиального потока Решение:

1) Определение закона распределения давления в пласте:

Рис. 9.2.2.График распределения давления в пласте.

2) Определение градиента давления:

.

Рис. 9.2.3.График распределения градиента давления в пласте.

3) Определение скорости фильтрации:

Рис. 9.2.4.График распределения скорости фильтрации.

4) Определение дебита скважины (по формуле Дюпюи):

5) Определение закона движения частиц жидкости:

.

6) Средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление:

4.3 Исследование одномерного прямолинейно-параллельного установившегося фильтрационного потока несжимаемой жидкости в неоднородном пласте.

Задача:

Определить закон распределения давления, градиента давления и скорости фильтрации по длине пласта (в математическом и графическом виде), дебит галереи и средний коэффициент проницаемости для двух случаев неоднородности пласта: слоисто-неоднородного и зонально-неоднородного — при следующих исходных данных:

Таблица 4. 3.1 Исходные данные где — давление на контуре питания;

— давление на стенке галереи;

— длина пласта;

— ширина пласта;

— толщина пласта;

 — проницаемость пропластков или зон пласта;

— динамическая вязкость жидкости;

 — толщина пропластков;

 — длина зон пласта.

Рис. 4.3.1.Схема прямолинейно-параллельного фильтрационного потока в слоисто-неоднородном (а) и зонально-неоднородном (б) пластах Решение:

· Рассмотрим слоисто-неоднородный пласт.

1) Определение закона распределения давления в пласте:

фильтрация газ линеаризованный лейбензон.

.

Рис. 4.3.2.График распределения давления в пласте.

2) Определение градиента давления:

.

Рис. 4.3.3.График распределения градиента давления в пласте.

3) Определение скорости фильтрации:

Рис. 4.3.4.График распределения скорости фильтрации в пласте.

4) Определение дебита галереи:

5) Определение средней проницаемости пласта:

· Рассмотрим зонально-неоднородный пласт Для начала определим давление на границе между зонами, основываясь на уравнении неразрывности .

1) Определение закона распределения давления:

.

Рис. 4.3.5.График распределения давления в пласте.

2) Определение градиента давления:

Рис. 4.3.6.График распределения градиента давления в пласте.

3) Определение скорости фильтрации:

Рис. 4.3.7.График распределения скорости фильтрации в пласте.

4) Определение дебита галереи:

5) Определение средней проницаемости пласта:

4.4. Исследование одномерного плоскорадиального установившегося фильтрационного потока несжимаемой жидкости в неоднородном пласте.

Задача:

Определить закон распределения давления, градиента давления и скорости фильтрации по длине пласта (в математическом и графическом виде), дебит скважины и средний коэффициент проницаемости для двух случаев неоднородности пласта: слоисто-неоднородного и зонально-неоднородного — при следующих исходных данных:

Таблица 4.1 Исходные данные где — давление на контуре питания;

— давление на забое скважины;

— радиус контура питания;

— радиус скважины;

— толщина пласта;

 — проницаемость пропластков или зон пласта;

— динамическая вязкость жидкости;

 — толщина пропластков;

— радиус границы между первой и второй зонами пласта.

Рис. 4.4.1.Схема плоскорадиального фильтрационного потока в слоисто-неоднородном (а) и зонально-неоднородном (б) пластах Решение:

· Рассмотрим слоисто-неоднородный пласт.

1) Определение закона распределения давления в пласте:

Рис. 4.4.2.График распределения давления в пласте.

2) Определение градиента давления:

Рис. 4.4.3.График распределения градиента давления в пласте.

3) Определение скорости фильтрации:

Рис. 4.4.4.График распределения скорости фильтрации.

4) Определение дебита скважины:

5) Определение средней проницаемости пласта:

· Рассмотрим зонально-неоднородный пласт Для начала определим давление на границе между зонами, основываясь на уравнении неразрывности .

1) Определение закона распределения давления:

Рис. 4.4.5.График распределения давления в пласте.

2) Определение градиента давления:

Рис. 4.4.6.График распределения градиента давления в пласте.

3) Определение скорости фильтрации:

Рис. 4.4.7.График распределения скорости фильтрации в пласте.

4) Определение дебита скважины:

5) Определение средней проницаемости пласта:

Заключение

.

Современное состояние и перспективы дальнейшего развития нефтяной и газовой промышленности характеризуются переходом на интенсивные методы разработки месторождений, существенным усложнением горно-геологических и термобарических условий их эксплуатации. В связи с этим применяются новые методы повышения нефтеотдачи пластов, основанные на дальнейшем совершенствовании методов гидродинамического воздействия на пласты. Более широким применением термических, физико-химических и газовых методов воздействия на природные резервуары и насыщающие их флюиды.

Моделирование процессов разработки при помощи дифференциальных уравнений Л. С. Лейбензона позволяет наиболее рационально контролировать истощение природные запасы подземных флюидов. В данной курсовой работе были рассмотрены прямолинейно-параллельные и плоскорадиальные одномерные фильтрационные потоки несжимаемой жидкости в однородных и неоднородных пластах. Установлены зависимости распределения давления, градиента давления, скорости фильтрации в пласте.

По результатам проделанной работы, делаем вывод, что каждую скважину нельзя рассматривать в отдельности, без учета действия на неё других скважин и самого пласта.

1. Басниев К. С., «Подземная гидромеханика» .-М.: Недра, 1986.-303с.

2. Басниев К. С., «Нефтегазовая гидромеханика» .- М.: РГУ, 2005.-544с.

3. Гиматудинов Ш. К. Справочная книга по добыче нефти. — М.: Недра, 1983. — 455с.

4. Лейбензон Л. С. «Движение природных жидкостей и газов в пористой среде» Москва 1947 Ленинград. 242с.

5. Рогачев М. К. Подземная гидромеханика: Лабораторный практикум. — СПб.: СПГГИ (ТУ), 2006.

6. Методические указания по курсовому проектированию, СПб., 2010;