Первое дифференциальное приближение

Основные понятия. Дггя краевой задачи можно построить много разностных схем, различающихся своими свойствами и качеством воспроизведения решения исходной дифференциальной задачи. Чисто формальный прием построения разностной схемы, основанный на прямой замене дифференциальных операторов их разностными аналогами, может привести к тому, что не будет даже качественного соответствия между точным и разностным решениями. Поэтому возникает проблема выделения допустимых разностных схем и отбора из их числа паи лучших. Отбор должен основываться на некоторых критериях оценки, которые также должны быть выработаны.

Таким образом, мы приходим к необходимости сформулировать основные свойства разностных схем, изучить их, выделить из них определяющие и сформулировать критерии их качества. Некоторые вопросы из этого круга уже были рассмотрены в предыдущих разделах. Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости являются основными. Однако существуют и формы оценки качества разностных схем, которые не противопоставляются классическим методам, а просто используют иной взгляд на проблему. Одним из таких подходов является метод дифференциального приближения.

При переходе от дифференциальной задачи к разностной происходит переход от области непрерывного изменения аргументов и функций к дискретному аналогу — сетке и сеточным функциям, а дифференциальные уравнения представляются алгебраическими соотношениями. Эти соотношения разностные схемы — удобны для построения численного решения и неудобны для анализа их свойств.

Для анализа свойств разностной схемы ее удобно рассматривать в том же функциональном пространстве, что и исходную дифференциальную задачу. Дгся этого нужно расширить область определения разностной схемы на все точки области задания ее дифференциального уравнения, полагая, что ее решению удовлетворяют функции непрерывного аргумента, определенные во всех точках области. Обычно переход от разностной схемы к ее непрерывному аналогу осуществляется либо разложением в ряды входящих в нее сеточных функций в окрестности выбранного базового узла, либо заменой операторов сдвига на их операторные дифференциальные представления (см. подразд. 2.4).

Полученная таким образом запись разностной схемы в терминах дифференциальных операторов называется ее дифференциальным представлением. Оно несет полную информацию о разностной схеме, но неудобно ддя анализа из-за того, что в него входит бесконечное число дифференциальных членов. Представления такого рода называют бесконечными дифференциальными уравнениями.

Если мы ограничимся конечным, согласованным по порядку аппроксимации количеством членов в бесконечных рядах дифференциального приближения, то получим конечное выражение, которое называется дифференциальним приближением разностной схемы. Оно является уже дифференциальным уравнением, которое занимает промежуточное положение между исходным дифференциальным уравнением и аппроксимирующей его разностной схемой. Дифференциальное приближение несет в себе информацию как об исходном дифференциальном уравнении, так и о разностной схеме. Можно сказать, что дифференциальное приближение отображает на пространство непрерывных функций свойства разностной схемы, определенной в дискретном пространстве сеточных функций.

Систематическое использование дифференциальных приближений для аиатиза свойств породивших их разностных схем составляет содержание .метода дифхференциального приближения. Наиболее эффективен этот метод в применении к гиперболическим уравнениям (в частности, уравнениям нестационарной газодинамики идеального газа). Его общая теория требует обращения к специальным разделам математики и подробно развита в [14]. Несмотря на свою сложность этот подход очень важен для понимания свойств разностных схем. В заключении главы мы покажем применение этого метода к исследованию разностных схем для простейшего уравнения переноса.

Построение дифференциального приближения. Дчя примера рассмотрим построение дифференциального приближения для линейного уравнения вида.

для которого можно предложить двухслойную разностную схему.

аппроксимирующую исходное дифференциальное уравнение. Входящие сюда коэффициенты b* определяются видом аппроксимации пространственного дифференциального оператора Си, а кi и кц определяют сеточный шаблон, принятый для аппроксимации.

Применим формальный прием построения дифференциального представления. Для этого нужно представить разностную схему через операторы сдвига, введенные ранее в нодразд. 2.4, и затем заменить операторы сдвига их бесконечными дифференциальными представ лег i и я м и.

Итак, вводя операторы сдвига Ttuⁿ = u^n+l —и^п и Т_хщ = щ+ — - щ, представим разностную схему в виде.

Для получения приближения применим формальный прием замены операторов сдвига их дифференциальными представлениями. Как было показано ранее (см. (2.7)), операторы сдвига имеют следующее дифференциальное представление:

Заменяя этими соотношениями операторы сдвига в разностной схеме, можем представить ее в виде бесконечного дифференциального представления:

В полученном выражении группа членов будет соответствовать исходному дифференциальному уравнению, для которого была записана разностная схема (это будет иметь место в том случае, если она аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение). Но кроме этого в дифференциальное представление войдут бесконечные ряды дифференциальных операторов, коэффициентами в которых будут выступать степени шагов разностной сетки:

Полученное выражение является дифференциальным представлением рассматриваемой разностной схемы и имеет вид бесконечного дифференциального уравнения. Если ограничиться в бесконечных разложениях членами с младшим порядком по шагам сетки, то укороченное таким образом соотношение будет называться первым дифференциальным приближением разностной схемы.

Разумеется, использование операторных представлений не является обязательным элементом конструирования дифференциального приближения и введено для общности изложения. Дифференциальное приближение может быть построено и на основе непосредственного разложения в ряды сеточных функций в узлах, соседних с выбранным базовым. Именно этот прием мы и используем для построения дифференциальных приближений ряда разностных схем.

Две формы дифференциальных приближений. Дифференциальное приближение полученного выше вида, называется Гформой. Эта форма в своей правой части, отличающей дифференциальное представление от исходного дифференциального уравнения, содержит как производные по времени, так и производные по пространственной переменной.

В теоретических работах показано, что для уравнений такого типа с помощью операций дифференцирования можно исключить из правой части все производные по времени. Полученная таким образов форма называется Пформой дифференциального приближения. В ряде случаев она является более удобным инструментом для анализа свойств разностных схем.