Алгебры над полем действительных чисел

Кватернионы Формирование определения

По аналогии с системой комплексных чисел попытаемся определить новую числовую систему, заменяя R па С. Будем искать систему (К, +,•> со свойствами:

• 1) — поле;
• 2) в поле (К, +, •> содержится поле комплексных чисел (С,+, •) с мнимой единицей / (/² =-1);
• 3) в а: существует новая мнимая единица у gС, у² = —1;
• 4) всякий элемент из /С представим в виде x+yj, где * и у — комплексные числа.

Однако в поле умножение коммутативно, поэтому (у —/)(у+/) = у² 4-ji-ij-i² = —1 — (—1) = 0, а гак как в поле нет делителей нуля, то j—i = О или у+/ = 0. Отсюда либо у = /, либо у ⁼ —/, что противоречит условию 3). Таким образом, от требования коммутативности умножения придется отказаться. Этот отказ приводит к понятию кольца с делением иди тела.

7.1.1. Определение. Телом называется ненулевое кольцо с единицей, в котором всякий ненулевой элемент имеет обратный.

Уменьшив свои требования, будем искать тело К со свойствами 2) ;

4). Понятно, что умножение в К зависит от правила умножения мнимых единиц / и у. Каковы должны быть эти правила? В 1843 г. Гамильтон л.

нашел их. Оказывается, надо потребовать, чтобы (у7) =-1.

Определение и существование системы кватернионов.

• 7.1.2. Определение. Системой кватернионов называется тело <К, +, •>, удовлетворяющее следующим условиям:
• 1) оно содержит поле комплексных чисел (С, +, •) с полем действительных чисел <R, +, •) и мнимой единицей /, /² =-1;
• 2) оно содержит новую мнимую единицу у, то есть jeKC, у =-1, причем мнимая единица у перестановочна с люоым действительным числом.
• 3) О’О²=—1;
• 4) К = C+Cj = {х+уу x, yeC}.

Всякий элемент из К называется кватернионом, а система (К, +, •) называется телом кватернионов.

Л у Л Обозначим ji = k, тогда получаем / = у =k =ijk = -1. Схема умножения мнимых единиц /, у, к изображена на рисунке 15.

Перемножая две соседние мнимые единицы в порядке, указанном стрелками, в результате получаем следующую по кругу мнимую единицу. Если же перемножить две соседние.

Рис. 15

мнимые единицы против направления стрелок, то получим третью мнимую единицу со знаком «минус».

Если x = a+bi, y = c+di, a, b, c, deR, то дг + yj = (а+Ы) + (с + di) j = a+bi+cj + dk. T акое представление кватерниона называется его алгебраической формой. Она объясняет название «кватернион», то есть «четверное» число.

Легко доказать, что множество единиц G = {1, -1, /, —у, — у, k_y-k) образует относительно умножения группу. Она называется группой кватернионов.

Используя свойства тела и правила умножения мнимых единиц, можно найти сумму и произведение кватернионов в алгебраической форме.

Доказывая существование тела кватернионов, в качестве «модели» кватерниона a+bi+cj+dk следует взять упорядоченную четверку действительных чисел (a, b, cd), то есть в качестве основного множества взять RxRxRxR. Взгляд на результаты сложения и умножения кватернионов в алгебраической форме подсказывает определение сложения и умножения упорядоченных четверок действительных чисел, чтобы получить тело кватернионов. (Проделайте это самостоятельно.).

Упражнения

• 1. Для группы кватернионов (G, •), где G — {1, — 1, /, — /, у, — у, k_y-k}, составьте таблицу умножения (таблицу Ксли), найдите порядок каждого элемента g е G, то есть наименьшее натуральное число п такое, что gⁿ= 1.
• 2. Найдите алгебраическую форму суммы, разности, произведения и частного двух кватернионов.
• 3. Докажите существование тела кватернионов.
• 4. Докажите единственность алгебраической формы кватерниона.
• 5. Используя единственность алгебраической формы кватерниона и изоморфизм любых двух полей действительных чисел, докажите, что любые два тела кватернионов изоморфны.