Спектральный признак устойчивости

Ограничимся рассмотрением разностных схем слоистой структуры, для которых поставлена задача Коши с начальными данными в виде собственной функции:

В частности, слоистая структура реализуется для схем явного счета. Сеточные функции и^п получаются последовательно, одна за другой, с помощью одного и того же оператора R, называемого оператором перехода от слоя к слою. Поэтому значения сеточной функции на слое N можно выразить через значения и° = v :

Оценим величину u^N. При этом будем считать, что собственные числа оператора в достаточной мере характеризуют его норму:

Эго выражение будет ограничено (мы можем гарантировать ограниченность) при.

При измельчении сетки т эо последнее условие эквивалентно требованию.

Более строгий анализ показывает, что можно ослабить это требование:

Полученные соотношения представляют так называемый спектральный признак устойчивости. Множество собственных чисел называют спектром оператора, а тахд ||А|| — спектральным радиусом. В общем случае собственные числа могут быть комплексными, и условие устойчивости заключается в том, что спектр оператора перехода должен находиться внутри круга единичного радиуса.

Разностную задачу мы рассматриваем в области действительных чисел. Однако всякую действительную функцию можно представить в виде комбинации комплексных. Привлечение комплексных функций дает эффективную информацию о метрических свойствах оператора перехода, в частности о его норме.

Спектральный признак дает лишь необходимое условие устойчивости (вспомним, что мы определяли норму оператора на множестве собственных функций). Однако если система собственных функций является полной, т. е. любую функцию из рассматриваемого класса можно представить комбинацией собственных, то спектральный признак будет также и достаточным условием устойчивости.