Остатки и их свойства

Обозначим вектор прогнозных значений зависимой пе;

А ременной через Y. Этот вектор может быть вычислен по формуле

Тогда вектор остатков определяется как разность векторов наблюдаемых и прогнозных значений зависимой переменной:

С учетом выражения (4.6) это можно записать следующим образом:

или.

где

Следует отметить, что матрица В является идемпотентной |42|, т. е. обладает свойствами В² = В, В^т = В.

Вычислим математическое ожидание Е (е) и ковариационную матрицу D (e) вектора остатков:

Равенство нулю математических ожиданий остатков А.

фактически означает несмещенность вектора Y.

Оценивание дисперсии ошибки

Как и в модели парной регрессии, сумма квадратов остатков может быть использована для оценивания дисперсии ошибки а².

где tr (yl) — след матрицы Л, который определяется как сумма ее диагональных элементов [42]; т — k + 1 — число неизвестных параметров уравнения регрессии (4.1). В выражении (4.10) использовались свойства следа матрицы, которые позволяют записать:

С учетом соотношения (4.10) оценка дисперсии ошибки может быть получена следующим образом:

Оценка дисперсии S² и МНК-оценки неизвестных параметров (4.6) являются статистически независимыми [2, 12, 19,68].