Закон сохранения энергии для волны. 
Уравнение цилиндрической и сферической волны

Как видно из раздела 6.3.7, для однозначного задания уравнения гармонической волны необходимо определить ее амплитуду как функцию координат и времени. Даже для стационарного источника амплитуда колебаний частиц в волне, вообще говоря, зависит от расстояния до источника. Во-первых, из-за сил внутреннего трения в среде энергия колебаний переходит в тепло (обычное затухание), а во-вторых, энергия источника '‘растекается" по все большей площади. Пусть вначале затухание в среде отсутствует. Тогда поток энергии через замкнутую волновую поверхность площадью 5, окружающую источник, определяется поверхностным интегралом.

Понятие потока векторного поля введено в разделе 4.1.4. Поскольку энергия генерируется только источником, закон сохранения энергии требует, чтобы этот поток сохранялся для любой поверхности.

Рассмотрим приведенную на рисунке плоскую волну, порождаемую плоским же источником.

Плоская волна Ввиду параллельности лучей в плоской волне растекания энергии нет. так что.

Таким обратом, уравнение плоской волны задается выражением раздела 6.3.7 с постоянной амплитудой.

Рассмотрим теперь сферическую волну, порождаемую сферическим источником (см. рисунок). Как видно из рисунка, теперь энергия растекается по поверхности сферы площадью S = 4кг², поэтому.

где Ло — амплитуда на единичном расстоянии от источника. В результате уравнение сферической волны.

причем г — радиальная координата.

Аналогично уравнение цилиндрической волны имеет вид.

где г — цилиндрическая координата, т.к. в данном случае энергия растекается по поверхности цилиндра, площадь которой S = 2nrh (см. рис.).

Цилиндрическая волна При наличии затухания необходимо в формулу для? ввести сомножитель ехр (—6г), учитывающий потери энергии (б — затухание на единицу длины).

Эффект Доплера.

Указанный эффект состоит в изменении принимаемой частоты волны, связанной с движением источника. Разумеется, ввиду относительного характера движения тот же эффект наблюдается при неподвижном источнике и подвижном приемнике. Если скорость звука в среде у, а скорость движения источника м, то принимаемая частота звука.

причем о) о — частота при неподвижном источнике, и > 0 для приближающегося и и < 0 для удаляющегося источника.