Автокорреляционные функции. 
Эконометрика

Автокорреляционной называется функция следующего вида:

Для каждого фиксированного значения аргумента т она представляет собой обычный парный коэффициент корреляции, вычисленный для значений временного ряда x (t) и x (t + т), t = 1, 2, …, N — х. Поэтому автокорреляционная функция обладает следующими свойствами, аналогичными свойствам коэффициента корреляции.

• 1. Четность, т. е. г (т) = г (-т).
• 2. Область допустимых значений: -1 < г (т) < 1.
• 3. Знак автокорреляционной функции указывает на тип зависимости между элементами временного ряда (положительное значение свидетельствует о положительной зависимости, отрицательное — об отрицательной).
• 4. При наличии строгой функциональной линейной зависимости между элементами временного ряда x (t) и x (t -г т) выполняется равенство |г (т)|= 1.
• 5. При полном отсутствии линейной зависимости между элементами временного ряда x (t) и x (t + т) автокорреляционная функция принимает нулевое значение: г (т) = 0.

Таким образом, автокорреляционная функция представляет собой меру линейности связи между элементами временного ряда, разнесенными друг от друга на х моментов времени. График автокорреляционной функции называется коррелограммой.

Оценку автокорреляционной функции можно получить из определений г (т) и у (т) по формуле.

С ростом величины временного сдвига т точность оценки (6.3) уменьшается. Это обусловлено сокращением числа слагаемых, используемых при расчете оценки автоковариационной функции у (т). В связи с этим на практике рекомендуется вычислять оценки автокорреляционной функции при

Как и в случае с обычными коэффициентами корреляции, использование только автокорреляционной функции не позволяет корректно оценить все существующие взаимосвязи между элементами временного ряда. Для более детального анализа совместно с автокорреляционной функцией г (т) полезно рассматривать частную автокорреляционную функцию г_част(т). Значения этой функции представляют собой частные коэффициенты корреляции, вычисленные для значений временного ряда x (t) и x (t + т), при исключении влияния всех промежуточных элементов временного ряда x (t + 1), x (t + 2),…, x (t + т — 1).

Вычисление частной автокорреляционной функции проводится по формулам корреляционного анализа (см. гл. 2). Значения частной автокорреляционной функции для каждого т представляют собой частные автокорреляции порядка (т — 1).

Пример 1. Частная автокорреляция первого порядка вычисляется следующим образом:

Частная автокорреляция (6.4) показывает тесноту линейности связи между элементами временного ряда. г (?) их (Ь+ 2) при исключении влияния на эту взаимосвязь промежуточных элементовx (t+ 1).

Пример 2. Частная автокорреляция второго порядка вычисляется как

где.

Вычисление оценок частных автокорреляционных функций проводится на основе оценок соответствующих автокорреляционных функций, найденных из соотношения (6.3).