Трехшаговый метод наименьших квадратов

Трехшаговый метод наименьших квадратов был предложен А. Зельнером и Г. Тейлом в качестве метода оценивания всех уравнений модели (5.5) одновременно с учетом возможной взаимной коррелированности ошибок различных членов этой системы. ЗМНК оказывается более эффективным, чем 2МНК, если ковариационная матрица ошибок X отлична от диагональной. Хотя и в этой ситуации 2МНК-оценки структурных параметров системы остаются состоятельными [2, 10, 19].

Первые два шага этого метода совпадают с шагами 2МНК. Третий шаг ЗМНК — анализ ковариационной матрицы ошибок X с использованием оценок, полученных в результате применения 2МНК. Это делает возможным применение обобщенного метода наименьших квадратов.

Рассмотрим третий шаг более подробно.

Шаг 3. Пусть наблюдается корреляция между ошибками разных уравнений системы (5.12) в одних и тех же наблюдениях, тогда ковариационная матрица ошибок X имеет вид, аналогичный случаю систем внешне несвязанных уравнений (см. параграф 5.2):

Оценку ковариационной матрицы ошибок можно получить по формуле.

А где Y — прогнозы эндогенных переменных, полученные, А А из соотношения (5.13); А В — оценки параметров уравнения (5.14), полученные, но 2МНК.

В этом случае, как и в системах внешне несвязанных уравнений, оценивание параметров каждого уравнения в отдельности невозможно. Для совместного анализа объединим все уравнения системы (5.12) в одну модель множественной регрессии.

где

Ковариационная матрица вектора ошибок модели (5.16) имеет вид.

Оценку матрицы й можно получить, подставив оценку (5.15) в выражение (5.17):

Оценивание вектора неизвестных параметров модели (5.16) может быть проведено с использованием обобщенного метода наименьших квадратов (см. параграф 4.17):

Вектор оценок 0 объединяет в себе все структурные коэффициенты системы уравнений (5.5). Оценки, полученные по трехшаговому методу наименьших квадратов, эффективнее оценок 2МНК только в том случае, когда наблюдается корреляция между ошибками разных уравнений системы.