Численные методы отыскания условного экстремума

Рассмотренные методы относятся к случаю отыскания безусловного экстремума целевой функции f (x), где х = (х_г, …, х_п). Однако в инженерной практике часто встречаются задачи, в которых необходимо найти экстремум целевой функции f{x), причем должны удовлетворяться еще и условия:

называемые уравнениями связи.

Точка X является ТОЧКОЙ ОТНОСИТЕЛЬНОГО МИНИМУМА функции f (x), если существует е > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих условию || х — х*|| < е и уравнениям связи, выполняется неравенство.

Исследуем наиболее распространенные методы поиска условного экстремума.

| Метод исключения Рассмотрим случай, когда все т ограничений (1.46) представляют собой равенства, т. е.

Предположим, что якобиан, составленный из частных производных g_t(x) по первым т переменным, не равен нулю, т. е.

Следовательно, система (1.47) разрешима относительно x_v х₂, …, х_т, и ее можно представить в виде.

Переменные х_{т +} j, х_{т h 2}, …, х_п принято называть независимыми, a x_v х_г, …, х_т — зависимыми. Под зависимыми и независимыми переменными в данном разделе понимаются функции, входящие в формулы задачи на условный экстремум.

Подставляя выражения для зависимых переменных (1.48) в функцию f (x), получим задачу отыскания безусловного экстремума функции (га — гга) переменных.

Хотя метод исключения прост по своей идее, он имеет недостаток, заключающийся в том, что решение системы (1.47) относительно части компонент найти бывает трудно, а порой и невозможно. Поэтому чаще используется другой путь отыскания точки относительного экстремума, не требующий явного выражения зависимых переменных через независимые, — метод множителей Лагранжа.

| Метод множителей Лагранжа Из курса математического анализа известно, что в точке х* безусловного экстремума функции f (x) ее полный дифференциал равен нулю, т. е.

где dx_;. — дифференциалы зависимых, a dx_A — дифференциалы независимых переменных, удовлетворяющие соотношениям.

полученным при дифференцировании уравнений связи.

Исключим из уравнений (1.49) и (1.50) дифференциалы зависимых переменных. Для этого поступим следующим образом: умножим каждое из уравнений (1.50) на произвольные множители Лр Х₂, …, Х_т соответственно и сложим с уравнением (1.49). В результате получим выражение.

Выберем множители Х₂, …, Х_т таким образом, чтобы коэффициенты при дифференциалах зависимых переменных обратились в нуль, т. е. чтобы выполнялось равенство.

Предположим, что якобиан функции g_t(x), состоящий из частных производных по первым т элементам, отличен от нуля:

Если это условие выполняется, то уравнения (1.52), являющиеся системой линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов A. J, Х₂, …, Х_т, имеют единственное решение. В этом случае в уравнении (1.51) останутся члены, содержащие дифференциалы только независимых переменных. Следовательно, и коэффициенты при дифференциалах зависимых переменных должны быть равны нулю, т. е. должны удовлетворяться соотношения.

Таким образом, получена система, содержащая (п + т) уравнений (1.47), (1.52), (1.53) относительно (п + т) неизвестных Х₂, …, Х_т, x_v x_v … х_п. Найденная в результате решения этой системы точка х является точкой экстремума функции f (x) и удовлетворяет уравнениям связи (1.47). Эту точку принято называть УСЛОВНО-СТАЦИОНАРНОЙ ТОЧКОЙ. Для того чтобы определить, является условно-стационарная точка точкой минимума или точкой максимума, необходимо использовать производные более высокого порядка, чем первый.

Перечислим основные этапы метода множителей Лагранжа.

• Составляется функция Лагранжа.

• Приравниваются к нулю ее частные производные по х_т и по X:

• Ищется решение системы (1.54), (1.55).

• Определяется характер условно-стационарной точки.