Основные законы распределения

Рассмотрим наиболее употребительные на практике законы распределения. Их еще иногда называют стандартными.

Дискретные законы распределения

Определение 3.19. Говорят, что дискретная СВ р имеет биномиальное распределение (распределение Бернулли) с параметрами (и, р), если ее возможными значениями являются числа 0, 1, 2,п, причем Р{р = к) = С^кp^kq^{n k}, где О <�р <, q= -р, к = 0,1,п.

Очевидно, что р — число успехов в п испытаниях Бернулли — имеет биномиальное распределение.

Замечание 3.10. Название «биномиальное распределение» следует из того, что вероятности Р{р = к} = C^kp^kqⁿ~^k можно рассматривать как члены разложения бинома (р + q)ⁿ. Ряд распределения случайной величины имеет вид.

Тогда, очевидно, ФР случайной величины р определяется формулой.

Найдем важнейшие числовые характеристики случайной величины р, распределенной по биномиальному закону:

т.е. М (р) = пр.

Аналогично получимО (р) = npq.

Определение 3.20. Говорят, что дискретная СВ? имеет распределение

Пуассона с параметром X, если ее возможными значениями является множество неотрицательных целых чисел, причем.

График распределения Пуассона изображен на рис. 3.3.

Рис. 3.3. График распределения Пуассона для различных X.

Ряд распределения случайной величины ?, имеет вид

Найдем числовые характеристики этой случайной величины:

Итак, Щ = Х.

Для того чтобы вычислить дисперсию, вычислим сначала М (с,²):

Тогда

Итак, параметр А, пуассоновского распределения равен одновременно математическому ожиданию и дисперсии случайной величины б, имеющей это распределение.

В гл. 5 мы приведем теорему Пуассона, которая утверждает, что пуассоновское распределение является предельным случаем биномиального распределения. Помимо этого предельного случая на практике встречается ряд ситуаций, когда распределение Пуассона имеет место, например число дефектов в куске ткани определенной длины, число вызовов на АТС за время t имеют распределение Пуассона.

Определение 3.21. Говорят, что дискретная СВ с имеет геометрическое распределение с параметром р, если ее возможными значениями является множество неотрицательных целых чисел, а вероятности этих значений равны.

Ряд распределения СВ с имеет вид.

Вероятности p_k для последовательных значений k образуют геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q. Отсюда и название «геометрическое распределение».

На практике геометрическое распределение имеет место в случае проведения ряда независимых опытов с целью получения какого-то результата А. При каждой попытке успех достигается с вероятностью р. СВ ?, число безуспешных попыток до первого появления А — имеет геометрическое распределение.

Найдем математическое ожидание и дисперсию:

Аналогично

Рассмотрим теперь распределение, которое возникает при контроле качества продукции для оценки доли бракованных изделий в выборке из контрольной партии. Его называют гипергеометрическим распределением.

Пусть имеется N изделий, среди которых М бракованных. Наудачу выбирают п изделий. Рассмотрим случайную величину с, — число бракованных изделий среди выбранных п. Очевидно, что может принимать значения 0, 1,2, …, min (n, М). Вычислим вероятность того, что с, примет значение k. Получаем

Определение 3.22. Говорят, что дискретная СВ ?, имеет гипергеометрическое распределение, если ее возможными значениями являются числа 0,1,.

2,…, min (w, М), а вероятности этих значений.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины ^ имеют вид.