Детерминированные и стохастические математические модели. 
Типовые математические схемы

Детерминированное моделирование отображает детерминированные процессы, т. е. процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий; стохастическое моделирование отображает вероятностные процессы и события. В этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса и оцениваются средние характеристики, т. е. набор однородных реализаций.

Детерминированные математические модели.

Статические системы, описываемые алгебраическими уравнениями исследуются точными и приближенными методами. К точным методам могут быть отнесены метод определителей и метод итераций. К приближенным методам могут быть отнесены графический метод, метод хорд, и метод касательных.

Динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями также исследуются точными и приближенными методами. К точным методам могут быть отнесены: метод разделения переменных, метод подстановки, и метод интегрирующего множителя. К приближенным методам могут быть отнесены метод последовательных приближений, метод функциональных рядов, метод Рунга — Кутта, и численные методы интегрирования.

Громоздкость математических моделей и систем и прямых методов решения дифференциальных уравнений делает весьма затруднительным для исследователя получение конечных решений. Поэтому для решения практических задач нашли широкое применение методы преобразования исходных уравнений. Пример одного из таких преобразований является преобразование Лапласа. Смысл преобразования Лапласа заключается в переводе исходной функции времени f (t) из пространства оригинала в пространство изображений при помощи интеграла.

F (p) = 0c+??f (t)e-ptdt, где p=d/dt.

Перевод F (p) из пространства изображений в пространство оригиналов осуществляется при помощи следующего интеграла.

f (t)=(½?)*(c+?c-??F (p)e-ptdp).

величина выбирается чтобы обеспечить сходимость интеграла. Преобразование Лапласа широко используется для решения дифференциальных и интегральных уравнений, поскольку при переходе из области оригиналов в область изображений эти виды уравнений преобразуются в алгебраический вид.

Например:

y (t)=kx (t) -> Y (p)=K*X (p).

y (t)= ?x (t)dt -> Y (p)=(1/p)*X (p).

y (t)=x'(t) => Y (p)=pX (p).

В процессе решения более сложных уравнений используются таблицы преобразования функций. Основываясь на методе преобразования функций решает задачи анализа система, описываемых дифференциальными и интегральными уравнениями. При этом используется понятие придаточной функции системы.

Придаточная функция система — это отношение преобразования Лапласа выходного сигнала линейной системы к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях. W (p)=Y (p)/X (p);

Придаточная функция системы может быть получена из дифференциальных уравнений системы, заменой операции дифференцирования по времени аппаратным p.

Пример. Система описывается следующим дифференциальным уравнением.

dy (t)/dt+ay (t)=kx (t).

где x (t) входной сигнал системы, y (t) выходной сигнал системы, a, kпараметры системы.

Уравнение системы переводиться в пространство изображений следующим образом.

Y (p) +aY (p)=kX (p).

Придаточная функция будет равна следующему:

Wp=Y (p)/X (p)=k/(p+a).

Алгебраический вид придаточной функции системы позволяет достаточно просто исследовать пространство изображений, динамические свойства систем и определять зависимость выходных сигналов систем от входных сигналов и параметров систем.

Стохастические математические модели.

Во многих случаях при исследовании систем анализу подвергаются не детерминированные, а случайные, стохастические процессы. Причиной этого является случайные воздействия, действующие на систему, а также случайные изменения параметров систем.

В качестве примера можно привести изменение скорости ветра, температуры и давления воздуха, действующих на ЛА, случайные изменения тяги двигателя и параметров систем управления ЛА в полете. Несмотря на случайный характер событий они подчиняются вполне определенным закономерностям, рассматриваемым в теории вероятностей.

Теория вероятностей это раздел математики, изучающий случайные величины и случайные процессы, а также закономерности, возникающие при взаимодействии случайных величин.

Вероятность случайной величины — это количественная оценка возможностей её появления.

Форма вероятностей события x P (x)=N (x)/N, где P (x) — вероятность события х, а N (x) — число случаев появления события х и N — общее число возможных случаев. Пример. общее число изготовленных систем равно 100. Число забракованных систем 3. вероятность появления брака есть 0,03 .

Достоверные события имеют вероятность p=1. Невозможное событие имеет вероятность 0.

Все остальные события являются вероятными и вероятность их появления находится в пределах 0.

Наиболее часто встречающиеся числовыми характеристиками случайных величин является: 1) математическое ожидание;

• 2) дисперсия случайной величины;
• 3) СКО (среднее квадратическое отклонение);

Динамику систем управления со случайными входными сигналами и случайными параметрами изучает наука называемая Статической Динамикой.

Статическая Динамика Управления — это наука, изучающая динамику процесса управления при случайных входных сигналов и случайных или неслучайных динамических свойств систем управления.

Два основных метода статистической динамики, используемой для исследования систем управления — статистический анализ систем управления и статистический синтез.

Статистический анализ системы — заключается в определении и исследовании статических характеристик выходных сигналов систем по заданным статистическим характеристикам входных сигналов и статистическим характеристикам параметров систем управления.

Статистический синтез оптимальных систем управления заключается в определении в некотором смысле оптимальных статистических характеристик параметров систем по заданным статистическим характеристикам входных сигналов.

Пример Рассмотрим последовательность действий при статистическом анализе и синтезе простейшей стационарной линейной системы.

Стационарная процесс — такой процесс у которого величины не меняют свои статистические величины.

Общий вид уравнения, связывающего выходной сигнал системы с входных сигналом, возмущающим моментом и параметром системы имеет вид:

y (t)=F1(x (t), Mвн (t), Ксу) Выражение случайной ошибки системы является разностью реального и идеального (желаемого) выходных сигналов систем. В общем виде может быть записано следующим образом:

?су (t)=F2[(x (t), Mвн (t), Ксу].

Полагаем для простоты что математическое ожидание ощибки системы равно нулю. M? су=0.

Общее выражение средне квадратического отклонения ошибки системы может быть записано следующим образом.

??су=F3(?x, ?Mвн, Ксу) где? x — среднеквадратическое отклонение входного сигнала.

?Mвн — среднеквадратическое отклонение возмущающего момента Условие оптимальности обобщенного параметра системы Ксу по критерию минимума среднеквадратического отклонения ошибки системы равно.

???су/?Ксу=0.

Решение этого уравнения относительно Ксу дает оптимальное значение обобщенного параметра Ксу opt.

Типовые математические схемы.

Типовые схемы. Приведенные математические соотношения представляют собой математические схемы общего вида и позволяют описать широкий класс систем. Однако в практике моделирования объектов в области системотехники и системного анализа на первоначальных этапах исследования системы рациональнее использовать типовые математические схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, системы массового обслуживания, сети Петри и т. д.

Перечисленные типовые математические схемы, естественно, не могут претендовать на возможность описания на их базе всех процессов, происходящих в больших информационно-управляющих системах. Для таких систем в ряде случаев более перспективным является применение агрегативных моделей. Агрегативные модели (системы) позволяют описать широкий круг объектов исследования с отображением системного характера этих объектов. Именно при агрегативном описании сложный объект (система) расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие взаимодействие частей. Таким образом, при построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы: непрерывно-детерминированный (например, дифференциальные уравнения); дискретно-детерминированный (конечные автоматы); дискретно-стохастический (вероятностные автоматы); непрерывно-стохастический (системы массового обслуживания); обобщенный, или универсальный (агрегативные системы).