Многошаговый метод Адамса

В предыдущих схемах решение в точке х_{п +} j вычисляется с использованием решения только в одной точке х_п. Логично предположить, что можно повысить точность метода, если использовать информацию о поведении решения в предыдущих точках х_п, х_п_ j… Такие методы получили название МНОГОШАГОВЫХ.

Общая схема построения многошаговых методов выглядит следующим образом. Пусть нам известно приближенное решение в нескольких узлах сетки х_п, х_п _ ₁₍ … х_п. Следовательно, в этих точках отрезка известно и значение f{x_r и) правой части дифференциального уравнения (3.14) при t = п, п — 1, п — р, причем f (x, u (x)) будет уже функцией только одной переменной f (x, u (x)) = F (x). Заменим функцию F (x) интерполяционным многочленом Лагранжа L_p(x) и вычислим значение и_{п +}, проинтегрировав (3.14) на отрезке [х_п, х_п , J. Находим.

Проводя интегрирование, находим разностную схему для решения дифференциального уравнения. Порядок схемы определяется величиной остаточного члена интерполяционного полинома.

В случае, когда для построения интерполяционного многочлена используются четыре узла х_п, х_п_ _р х_п_₂, х_п _ ₃, получается ФОРМУЛА АДАМСА, которая на сетке с постоянным шагом записывается в виде.

с локальной ошибкой дискретизации.

Таким образом, метод Адамса имеет четвертый порядок точности на интервале. Чтобы начать счет по схеме Адамса, необходимо знать решение в четырех начальных точках х₀, x_v х₂, х₃.

По существу, интерполяционный многочлен L_p(x) в формуле (3.32) используется вне области интерполяции, т. е. в данном случае это экстраполяционный многочлен. Однако, поскольку интервал (х_п, х_{п + й}) мал, ошибка за счет экстраполяции невелика. Недостающие значения функции вычисляются в точках x_v х₂, х₃, как правило, по методу Рунге — Кутты соответствующего порядка. Это является недостатком метода, так как увеличивает объем программы для компьютера. Преимущество многошаговых методов заключается в том, что на каждом шаге правая часть АДАМС ДЖОН КАУЧ (Adams John Couch; 1819—1892) — английский астроном и математик, автор работ по небесной механике. А. известен теоретическим открытием планеты Нептун, сделанным им в 1845 г. независимо от У. Леверье. В математике используется метод Адамса численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

дифференциального уравнения вычисляется только один раз, а в методе Рунге — Кутты четвертого порядка точности на каждом шаге функция f (x, и) вычисляется четыре раза. Здесь, естественно, необходимо учитывать соотношение шагов двух методов, обеспечивающих заданную точность. В случае, когда правая часть дифференциального уравнения является функцией только одной переменной х, остаточный член в формуле Рунге — Кутты четвертого порядка точности на равномерной сетке равен остаточному члену г_п формулы трапеций численного интегрирования с шагом h/2, составляющему.

В формуле Адамса остаточный член.

Таким образом, остаточный член в формуле Рунге — Кутты примерно на три порядка меньше, чем в формуле Адамса. Следовательно, для получения результата с одной и той же точностью можно шаг в методе Рунге—Кутты брать примерно в шесть раз большим, чем в формуле Адамса. Поэтому в методе Рунге — Кутты функция f (x, u (x)) вычисляется меньшее число раз.

Достоинство метода Адамса по сравнению с методом Рунге — Кутты заключается в простоте оценки остаточного члена метода.