Кривизна плоской кривой. 
Эволюта и эвольвента

Для более полного представления о кривизне плоской кривой для начала введём понятие векторной функции скалярного аргумента.

Определение 1. Если каждому значению независимого переменного t? T?R, называемого далее скалярным аргументом, поставить в соответствие единственный вектор r (t), то r (t) называют вектор-функцией скалярного аргумента. Вектор r (t) с началом в фиксированной точке O называют радиус-векторм.

Пусть в геометрическом (трёхмерном) пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz с ортонормированным базисом i, j, k. Тогда представление.

r (t) = x (t)i + y (t)j + z (t)k.

является разложением радиус-вектора r (t) в этом базисе, причем x (t), y (t), z (t) — действительные функции одного действительного переменного t с общей областью определения T? R, называемые координатными функциями вектор-функции r (t).

Понятие кривой

Введём теперь термин «кривой». Его строге определение связано с понятием вектор-функции r (t), которую будем считать непрерывной на отрезке [a, b]. Пусть в трёхмерном пространстве R3 задана прямоугольная декартова система координат Oxyz с ртонормированным базисом {i, j, k}.

Определение 2. Множество Г? R3 точек, заданных радиус-векторм r (t) = x (t)i + y (t)j + z (t)k, t?[a, b] соответствующим непрерывной на отрезке [a, b] вектор-функции r (t) называют непрерывной кривой, или просто кривой, а аргумент t — параметром кривой.

При фиксированном значении t = t0? [a, b] параметра значения x (t0), y (t0), z (t0) являются координатами точки кривой. Поэтому одна и та же кривая может иметь как векторное так и координатное представление.

Г = {r? R3: r = r (t), t?[a, b] },

Г = {(x; y; z)? R3: x = x (t), y = y (t), z = z (t), t?[a, b] }.

Заданную таким образом кривую называют годографом вектор-функции r (t), поскольку именно такую кривую описывает в простарнстве конец вектора при изменении параметра t.

Кривую можно также представить как линию пересечения двух поверхностей с уравнениями F1(x, y, z) = 0, F2(x, y, z) = 0. Выбрав за параметр одну из координат, можно через него попытаться выразить из этой системы уравнений остальные координаты. Если это удастся сделать, то можно будет записать Г = {(x; y; z)? R3: x = x (t), y = y (t), z = z (t), t?[c, d] }.

Одной и той же точке кривой могут соответствовать различные значения параметра t. Такие точки кривой называют её кратными точками. Начальной и конечной точками кривой называются точки с радиус-векторами r (a) и r (b) соответственно. Если конечная точка кривой совпадает с её начальной точкой, то кривую называют замкнутой. Замкнутую кривую, не имеющую кратных точек при t?(a, b) называют простым замкнутым контуром.

Определение 3. Кривую, лежащую в некоторой плоскости называют плоской.

Если эта плоскость выбрана за координатную плоскость xOy, то координатное представление плоской кривой Г имеет вид:

Г = {(x; y; z)? R3: x = x (t), y = y (t), z = z (t), t?[a, b] }.

причём равенство z=0 обычно опускают и пишут

Г = {(x; y)? R2: x = x (t), y = y (t), t?[a, b] }.

График непрерывной на отрезке [c, d] функции f (x) является плоской кривой с координатным представлением Г = {(x; y)? R2: x = x, y = f (x), x?[c, d] }.

В этом случае роль параметра выполняет аргумент x. Плоская кривая является годографом радиус-вектора r (t) = x (t)i + y (t)j или r (x) = xi + f (x)j соответсвенно.