Полуэмпирическая формула Вайцзеккера

Еще в 1911 г. Резерфорд для объяснения рассеяния б-частиц предположил, что внутри атома имеется ядро шарообразной формы размером ~ 1012 см. Позднее в результате анализа эмпирически обнаруженной связи между временем жизни б-р адиоактивных ядер и энергией испускаемых ими б-частиц удалось оценить радиус этих ядер. Оказалось, что для всех б-р адиоактивных ядер: R = r0•A1/3, r0 = (1.45−1.50) •10?13, A — массовое число Предположим, что закон R ~ A1/3справедлив не только для б-р адиоактивных ядер, но и для всех остальных ядер. Тогда масса любого ядра пропорциональна его объему (A ~ R3), и, следовательно, все ядра имеют одинаковую концентрацию нуклонов:

Одинаковую плотность:

и одинаковое значение среднего расстояния между нуклонами см. В последствии правильность такого предположения была доказана разнообразными методами определения радиусов атомных ядре.

То, что плотность ядерного вещества всех ядер постоянна, говорит о его несжимаемости. Это свойство сближает ядерное вещество с жидкостью. О такой аналогии свидетельствует также отмеченная ранее пропорциональность ДE ~ A, которую можно сравнить с линейной зависимостью энергии испарения жидкости от её массы.

Вытекающее из постоянства средней энергии связи Eуд = ДE/A свойство насыщения ядерных сил углубляет аналогию, так как подобным свойством обладают химические силы, связывающие молекулы жидкости. Все это позволяет построить капельную модель атомного ядра, по которой ядро представляет собой шарообразную каплю несжимаемой заряженной ядерной жидкости. Частицы этой жидкости взаимодействуют только с небольшим числом ближайших частиц.

Капельная модель атомного ядра помогла объяснить многие явления. С её помощью удалось получить полуэмпирическую для энергии связи и массы ядра, объяснить многие особенности деления тяжелых ядер и некоторые закономерности б-р аспада.

Посмотрим, каким образом при помощи капельной модели может быть получена формула, выражающая энергию связи и массу ядра через его массовое число, и заряд Z.

Выше было показано, что в первом приближении энергия связи ядра пропорциональна массовому числу A. Введем коэффициент пропорциональности б и запишем энергию связи в виде:

ДEсв ~ бA.

В такой записи предполагается, что все нуклоны ядра равноценны. На самом деле это не верно, так как поверхностные нуклоны ядерной «капли» притягиваются только с одной (внутренней) стороны. Поэтому энергия связи ядра будет меньше бA на величину, пропорциональную поверхности капли:

ДEсв ~ бA? вA2/3, в — коэффициент пропорциональности Далее необходимо учесть кулоновское отталкивание протонов, которое должно быть пропорционально Z2 и обратно пропорционально r ~ A1/3. Оно так же уменьшает энергию связи:

г — коэффициент пропорциональности.

Формула должна отражать наблюдающуюся в природе тенденцию к симметрии в строение атомных ядер. Эта симметрия в явном виде выступает в легких ядрах, которые, как правило, состоят из одинакового числа протонов и нейтронов. Это означает, что ядра с Z = A / 2 обладают наибольшей устойчивостью и, следовательно, имеют наибольшую энергию связи. Отклонение от равенства Z = A / 2 в любую сторону ведет к уменьшению энергии связи и учитывается в формуле членом вида:

е — коэффициент пропорциональности.

Этот последний член полуэмпирической формулы не может быть объяснен с помощью капельной модели. Он появляется из-за того, что нейтрон и протон подчиняются принципу Паули. Как известно из атомной физики принцип Паули запрещает взаимодействие между тождественными частицами со спином Ѕ в некоторых состояниях. Благодаря этому среднее взаимодействие между двумя различными нуклонами больше, чем между двумя тождественными. Это означает, что при данном A образование системы из равного числа протонов и нейтронов (Z = N) энергетически выгоднее, чем из разного.

С учетом эффекта симметрии формула для энергии связи выглядит следующим образом:

Так как масса атома связана с энергией связи соотношением, то формула (2.23) позволяет производить также вычисления массы атомов:

Коэффициенты б, в, г, е были найдены при сопоставлении с (из сравнения измеренных значений масс атомов) энергиями связи. При этом коэффициент г может быть найден непосредственным подсчетом электростатической энергии взаимного отталкивания Z протонов ядра.

Коэффициент е может быть определен из соотношения, связывающего A и Z для стабильных ядер, имеющих при данном A наименьшую массу. Это соотношение получается, если продифференцировать выражение (2.24) по Z при постоянном A и приравнять производную нулю: (дM/дZ)A = 0. При таком дифференцировании коэффициенты б и в исключаются, и коэффициент е выражается через A и Z стабильного ядра и г. Для контроля е может быть найден по нескольким стабильным ядрам. Коэффициенты б и в находятся непосредственным сопоставлением с известными массами атомов.

В результате были найдены следующие значения коэффициентов:

б = 15.75 МэВ; в = 17.8 МэВ;

г = 0.71 МэВ; е = 94.8 МэВ Формула (2.24) хорошо передает значения масс всех атомов с нечетным A. При этом достаточно точные значения масс (до второго знака после запятой) получаются не только для стабильных, но и для радиоактивных ядер. Однако для ядер с четным значением A формула (2.24) дает неправильные значения масс.

Выше уже отмечалось, что наиболее устойчивыми являются ядра с четным Z и четным N = A? Z. Более детальное рассмотрение этого вопроса показывает, что все ядра можно по их устойчивости разделить на три группы. В первую группу входят наиболее устойчивые четно-четные ядра; во вторую — менее устойчивые четно-нечетные и нечетно-четные ядра (с нечетным массовым числом A) и, наконец, в третью — нечетно-нечетные ядра, которые, как правило, нестабильны (известны только четыре стабильных ядра такого типа: 1H2, 3Li6, 5B10 и 7N14). В связи с этим масса атомных ядер с данным четным массовым числом A = 2n = const при последовательном изменении заряда ядер Z на единицу (переводящем ядро из первой группы в третью и наоборот) меняется не плавно, а скачкообразно. Такой характер изменения массы ядер с изменением Z не предусмотрен формулой (2.24), поэтому для четно-четных ядер она дает завышенное значение массы, а для нечетно-нечетных — заниженное. Чтобы формула правильно передавала значения масс всех ядер, в нее надо внести еще одно добавочное слагаемое д, равное:

д =.	+|д| - при четных A и Z; 0 — при нечетном A (Z — любое); -|д| - при четном A и нечетном Z.

Сопоставление с известными значениями масс четно-четных ядер дает для д величину: д = 34 A-¾ МэВ.

Формулы с д-членом:

дают правильные (и достаточно точные) значения энергий связи (и масс) для очень многих ядер (больше сотни) как с нечетным A, так и с четным A. Это обстоятельство делает формулу универсальной и очень ценной для анализа различных свойств ядер.

Для точного подсчета энергии связи (по формуле (2.6)) необходимо знать массу протона mp, массу нейтрона mn и ядра — Mяд (A, Z), которые определяются с помощью масс-спектрометра и из анализа ядерных реакций.

Объяснить существование д-члена в рамках развитой здесь капельной модели ядра нельзя. Его появление в формуле связано с существованием у нуклонов спинов, от взаимной ориентации которых несколько зависит интенсивность ядерного действия и, следовательно, значение энергии связи и массы.

Используя формулу (2.24) с известными коэффициентами можно легко найти условие, связывающее A и Z всех в-стабильных ядер. Действительно, формула (2.24) при постоянном A дает зависимость массы ядра от его заряда. Эта зависимость имеет параболический характер. Наиболее устойчивое ядро имеет наименьшую массу, и, следовательно, соответствующее ему Z0 может быть найдено методом определения минимума кривой. Дифференцируя выражение (2.24) по Z при постоянном A и приравнивая производную к нулю, получим формулу: