Оценка стоимости финансовых опционов на основе метода реплицирующего портфеля. 
Доказательство безарбитражности

Рассмотрим финансовый актив, стоимость которого x_t=x (t, со) удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению.

Будем исходить из того, что коэффициент c_t = c (t, со) является случайной функцией времени, в то время как волатильность c_r= a (t) предполагается некоторой неизвестной детерминированной функцией времени.

Наряду с указанным базовым финансовым активом введем в рассмотрение некоторую ценную бумагу, являющуюся производной от базового актива, при этом будем исходить из того, что ее стоимость 8_t на момент времени исполнения t = Т определяется одним из следующих двух соотношений:

В случае выполнения соотношения (4.33) соответствующую производную ценную бумагу будем называть колл-опционом (call option), в случае выполнения соотношения (4.34) — пут-опционом (put option). При этом величина К задается изначально и носит название цены исполнения опциона (strike). Таким образом, владелец пут-опциона имеет возможность хеджировать основной актив в случае, если его цена опустится ниже значения цены исполнения опциона, и наоборот, владелец колл-опциона аналогичным образом хеджируется от повышения цены основного актива в случае, если он занимает по нему короткую позицию.

Поставим вопрос о том, как рассчитать так называемую справедливую цену каждого из указанных двух опционов на начальный момент времени t = 0. Для этого будем следовать одному из постулатов рыночной экономики, не допускающему присутствия арбитража, т. е. возможности получения безрисковой прибыли. Математическая формализация данного постулата осуществляется следующим образом.

В рассмотрение вводится реплицирующий портфель (в англоязычной литературе — replicating poitfolio), составленный из a_t единиц указанного базового рискового актива и b_t единиц безрискового актива, стоимость которого (3, определяется постоянной процентной ставкой г и, следовательно, (3, =Р₀е'^г. Определим стоимость такого портфеля f_t— f (t, x_t) исходя из соотношения.

Будем осуществлять управление указанным портфелем исходя из стратегии самофинансирования, а именно, предполагать на каждый момент времени t выполнение следующей зависимости:

Соотношение (4.35) можно переписать, используя приведенный выше явный вид функции (3:

Выпишем стохастический дифференциал функции f_t

и приравняем правые части выражений (4.36) и (4.37). В результате получим соотношения.

Заметим, что.

и, таким образом, зависимость (4.38) можно переписать в следующем виде:

Определим вместо t новую переменную т = Т — t. В результате получим уравнение в частных производных относительно неизвестной функции двух независимых переменных /(т, х)

где а_т= а (Т- т), удовлетворяющей одному из следующих начальных условий:

Для того чтобы сделать коэффициенты уравнения (4.40) независящими от х, перейдем к новой переменной у = 1пг. В итоге получим уравнение относительно неизвестной функции/(т, у), <�у< +°°, 0 < т < +°°:

1 1.

где а = —а^; kt = г- —°т> удовлетворяющей одному из следующих начальных условий.

Поставленная таким образом задача является типичной начальной задачей для параболического уравнения и решается стандартными методами математической физики¹. Обычно подобные задачи решаются путем применения преобразования Фурье к обеим частям исходного уравнения. Применяя к левой и правой частям уравнения (4.43) преобразование Фурье по переменной у

получим обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции F (т, k), где k играет роль параметра:

Решение задачи Коши для уравнения (4.46) имеет вид.

X X.

где =f a*ds В_т = J b_sds.

о о Совершая обратное преобразование Фурье с учетом заданного начального условия /(0, у) = |/,(z/), получим.

Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1967.

Меняя порядок интегрирования в формуле (4.47), запишем

Используя замену kA_x = р, преобразуем внутренний интеграл следующим образом:

Как известно^[1],.

Таким образом, решение задач (4.43), (4.44) и (4.43), (4.45) можно записать в виде несобственного интеграла.

X X.

где Л^[2] - J ajfds; В_т = J b_sds.

^{0 0}

Преобразуем выражения для А^[2] и В_г возвращаясь к переменной t, соот-

т

ветствующей режиму реального времени. В результате получим A_r^[2] = f а^[2]<&,

t

В, = b_sds.

t

Кроме того заметим, что формула (4.48) годится для любой функции выплат при оценке стоимости опциона.

Соотношение (4.48) может быть полезно для оценки влияния волатильности, зависящей от времени, на точность расчета стоимости опциона.

Тем не менее проблема заключается в том, что для практического применения формулы (4.48) необходимо знать будущие значения волатильности, что, разумеется, невозможно. Однако описанное в гл. 1 свойство квазиэргодичности позволяет записать приближенные равенства A} =a (T-t),

( 1 S

B_t = г—а (Т -1), что делает формулу (4.48) пригодной для практического

ч 2 )

использования. Также заметим, что формула (4.48) может быть записана в более компактной форме с использованием интеграла вероятности^[2]. Так, для случая опционов пут и колл соответственно имеют место классические формулы Блэка — Шоулза

d — —.

где Ф(d) =? , — f e 2 dx — функция стандартного нормального распреде;

2тс —оо ления;

Перейдем теперь к проверке безарбитражности — основного постулата теории финансов — полученной формулы для вычисления стоимости опционов. Убедимся в том, что полученная указанным выше способом стоимость опциона исключает возможность арбитража как для покупателя, так и для продавца. Для этого, следуя обшей схеме проверки на безарбитражность^[7], введем в рассмотрение портфель, составленный из трех видов активов: двух рисковых стоимостью x_t и /, = f (t, x_t)> а также безрискового стоимостью (3,. Стоимость указанного портфеля обозначим через V_r Кроме того, из формулы Ито вытекает справедливость следующих соотношений:

где.

и.

Обозначим долю каждого из составляющих портфель активов через и_х, Ufu^— и_х — Uf. Динамика стоимости такого портфеля, управляемого в рамках стратегии самофинансирования, определяется соотношением.

Заметим, что значения cij и ay, определенные формулами (4.49), (4.50), наряду с соотношением (4.39) обеспечивают справедливость равенства.

Выполнение соотношения (4.51) означает, что система алгебраических уравнений.

нс имеет решения ни при каких в Ф 0, в том числе любых в > 0. Из последнего обстоятельства вытекает, что если стоимость опциона меняется в соответствии с формулой (4.39), то на срочном рынке ни один из его участников, в том числе покупатель и продавец опциона, не сможет сформировать из указанных трех активов безрисковый портфель, управляемый в рамках стратегии самофинансирования и обеспечивающий рост его стоимости, превышающий безрисковую процентную ставку г на величину в > 0. В этом смысле динамика стоимости опциона, определяемая формулой (4.39), обеспечивает безарбитражность стоимости введенного в рассмотрение финансового инструмента.

Заметим, что расчет начальной стоимости различных опционов 8₀ исходя из функции выплат ср (х_г) по формуле.

справедлив^[8] только в случае, когда c_t= г и а_г = а, где г — безрисковая процентная ставка; а — постоянная волатильность.

• [1] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.М.: Наука, 1989.
• [2] Black F., Scholes М. The pricing of options and corporate liabilities //Journal of PoliticalEconomy. 1973. Vol. 81. № 3. P. 637−654.
• [3] Black F., Scholes М. The pricing of options and corporate liabilities //Journal of PoliticalEconomy. 1973. Vol. 81. № 3. P. 637−654.
• [4] Black F., Scholes М. The pricing of options and corporate liabilities //Journal of PoliticalEconomy. 1973. Vol. 81. № 3. P. 637−654.
• [5] Black F., Scholes М. The pricing of options and corporate liabilities //Journal of PoliticalEconomy. 1973. Vol. 81. № 3. P. 637−654.
• [6] Black F., Scholes М. The pricing of options and corporate liabilities //Journal of PoliticalEconomy. 1973. Vol. 81. № 3. P. 637−654.
• [7] Bjork Т. Arbitrage theory in continuous time. Oxford University Press, 2004.
• [8] Karatzas /., Shreve S. Е. Brownian motion and stochastic calculus. Springer, 1991.