Роль ядерных оценок плотности в статистике в пространствах произвольной природы

Статистика в пространствах произвольной природы — сердцевина статистики объектов нечисловой природы (статистики нечисловых данных, нечисловой статистики) [1, 2]. В этой научной области есть ряд ключевых понятий. К ним относятся прежде всего понятия эмпирических и теоретических средних.

Вначале эмпирические и теоретические средние в пространствах произвольной природы были введены и законы больших чисел для них получены на языке теории случайных множеств в работах 1978 г. [10, 11]. В первой научной монографии автора настоящей статьи (написана летом 1977 г., вышла в 1979 г. в серии «Проблемы советской экономики») были подведены итоги исследований в конкретных направлениях статистики объектов нечисловой природы (теории измерений, теории нечеткости, теории толерантностей, теории конечных случайных множеств и др.), установлены связи между отдельными видами объектов нечисловой природы, появился (в предисловии) сам термин «статистика объектов нечисловой природы» [12]. Однако в ней еще не была выявлена роль статистики в пространствах общей (т.е. произвольной) природы. Например, законы больших чисел формулировались для случайных множеств, а не для эмпирических и теоретических средних в пространствах общей природы.

Надо отметить, что термин «устойчивость» в массовом сознании специалистов до сих пор часто ассоциируется с устойчивостью по Ляпунову и иной тематикой динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями. Поэтому название нашей первой научной монографии [12], хотя и верное по существу дела, при поверхностном восприятии порождало неверные ассоциации.

После выхода первой научной монографии автор настоящей статьи сузил область исследований, сосредоточившись на статистике объектов нечисловой природы. Название «статистика объектов нечисловой природы» ассоциируется правильно — с прикладной (математической) статистикой. Неправильные ассоциации с официальной государственной статистикой (ЦСУ, Госкомстат, Росстат) имеются на более высоком уровне иерархии понятий. Заслуживает обсуждения предложение заменить термин «прикладная статистика» на иной термин для ликвидации ложных ассоциаций, например, на термин «анализ данных», чтобы окончательно отмежеваться от официальной государственной статистики.

Следующий принципиально важный шаг был сделан в написанной годом позже (в 1978 г.) работе [13]. В ней была разработана программа развития нового направления прикладной статистики — статистики объектов нечисловой природы, реализованная позже, в основном в 80-х годах. Сформулированы все основные постановки и результаты. Показано, что стимулом к развитию статистики объектов нечисловой природы является теория и практика экспертных оценок. Статистика объектов нечисловой природы является частью общей теории устойчивости, выделенной нами в качестве наиболее актуальной и перспективной.

Важным этапом в становлении и развитии статистики в пространствах общей природы является небольшая книга (брошюра) [14]. Она представляет собой «выжимку» моих работ 70-х годов, т. е. теории устойчивости и в особенности статистики объектов нечисловой природы, с уклоном в методологию. Эта книга включает в себя основные результаты по теории нечеткости и ее сведению к теории случайных множеств, а также новые результаты (первая публикация!) по статистике нечетких и случайных множеств. Задачи оптимизации увязывались с медианой Кемени, эмпирическими и теоретическими средними в пространствах произвольной природы. Именно с этой небольшой книги можно посоветовать начинать знакомство с рассматриваемым научным направлением. С брошюрой [14] тоже связано недоразумение — она вышла в научно-популярной серии «Математика, кибернетика» издательства «Знание», хотя по существу была научной монографией. Поэтому, несмотря на солидный тираж (40 тыс. экз.), эта брошюра сравнительно редко упоминается в научных изданиях.

Принципиально важной является работа [15]. В ней получены наиболее общие результаты, касающиеся законов больших чисел и асимптотики решений экстремальных (т.е. оптимизационных) статистических задач в пространствах общей природы. Доказательства нигде больше не публиковались. Работу целесообразно переиздать, чтобы сделать формулировки и доказательства теорем доступными современным читателям.

Краткое описание полученных в статье 1982 г. [15] результатов дано в заметке, посвященной их применению в конкретных задачах прикладной статистики [16]. На основе общих результатов об асимптотическом поведении решения экстремальных статистических задач изучены, в частности, свойства нового метода экспертных оценок [17].

Важный частный случай асимптотики решений экстремальных статистических задач — оптимизационный подход к определению средних величин и законы больших чисел в пространствах общей природы — рассмотрен в серии статей [18 — 21].

Непараметрические оценки плотности распределения вероятностей в произвольных пространствах были введены в программной статье 1979 г. [13], «породившей» новую область прикладной статистики — статистику объектов нечисловой природы. Весьма важна новаторская фундаментальная работа [22], полностью посвященная непараметрическим оценкам плотности в топологических пространствах. В ней впервые введен ряд классов непараметрических оценок плотности в пространствах произвольной природы и доказана их состоятельность. Доказательства нигде больше не публиковались. Работу целесообразно переиздать, чтобы сделать формулировки и доказательства теорем доступными современным читателям.

Дальнейшее развитие теории непараметрических оценок плотности в пространствах произвольной природы дано в статьях [23 — 25]. Показано, что оптимальная скорость сходимости — та же, что и для непараметрических оценок плотности для числовых случайных величин. Поэтому можно сказать, что рассматриваемая теория доведена до ее естественных границ.

В этих статьях указано также на использование ядерных (и иных) оценок плотности для решения задач классификации [26, 27], прежде всего дискриминации (диагностики) [28, 29].

Современный этап углубленного изучения непараметрических оценки плотности в пространствах произвольной природы, в том числе ядерных оценок, отражен в работах [3, 4], а также [30, 31]. Нужны дальнейшие исследования.

ядерный плотность дискретный пространство.