Метод регуляризации Тихонова

Как и ранее, рассмотрим операторное уравнение (3.5), где А — линейный вполне непрерывный оператор, отображающий Z в U, где Z и U — сепарабельные гильбертовы пространства. Так как оператор А вполне непрерывен, то задача решения уравнения (3.5) в этом случае является некорректной^[1]. В отличие от метода квазирешений будем исходить из того, что уравнение (3.5) имеет единственное решение г, отвечающее точному значению правой части й. При этом точное значение правой части й неизвестно и задается приближенным значением и₈, для которого имеет место оценка ||и₈ — й || < 5. Требуется исходя из известных щ и 8 построить приближенное решение уравнения (3.5) z₈, которое бы сходилось к I при б —" 0. В связи с этим рассмотрим функционал.

где, а — строго положительный параметр. Имеет место следующая теорема^[2].

Теорема 3.3. Для любых и е U и, а > 0 функционал (3.10) достигает своей нижней грани на единственном элементе.

В свою очередь обозначим через z_{a (S)} элемент, на котором достигается нижняя грань функционала.

где а (б) > 0 при 6 > 0.

Из теоремы 3.2 следует, что элемент z_a^ существует и единственен. Более того, имеет место следующий результат^[3].

Теорема 3.4. Если а (б) > 0 при б > 0, а (б) —" 0 и 5^[2]/а (б) —> 0 при 5 —> 0, то ||z_{a (8)}-z||-«0 при 8 —> 0.

При этом выбор параметра регуляризации а (б) по невязке б осуществляется исходя из следующих соображений^[5]. Обозначим через z_a элемент, на котором достигается нижняя грань функционала ||Аг-м₈1|^[2] + a||z||^[3].

Теорема 3.5⁵. Для любого 8 е (0, ||м₅1|) существует единственный корень уравнения

• [1] Треногий В. А. Указ. соч.
• [2] Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Указ. соч.
• [3] Там же.
• [4] Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Указ. соч.
• [5] Денисов А. М. Указ. соч.
• [6] Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Указ. соч.
• [7] Там же.