Модели, описываемые системой дифференциальных уравнений

Основные понятия

Фазовая плоскость и фазовый портрет

Наиболее интересные результаты по качественному моделированию свойств биологических систем получены на моделях из двух дифференциальных уравнений, которые допускают качественное исследование с помощью метода фазовой плоскости. Напомним некоторые понятия качественной теории дифференциальных уравнений.

Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида.

где Р (х, у), Q (x, y) — непрерывные функции, определенные в некоторой области G евклидовой плоскости (х, у — декартовы координаты) и имеющие в этой области непрерывные производные порядка не ниже первого.

Область G может быть как неограниченной, так и ограниченной. Если переменные ж, у имеют конкретный биологический смысл (концентрации веществ, численности видов), то чаще всего область G представляет собой положительный квадрант правой полуплоскости:

Концентрации веществ или численности видов также могут быть ограничены сверху объемом сосуда или площадью ареала обитания. Тогда область значений переменных имеет вид:

Переменные х, у во времени изменяются в соответствии с системой уравнений (5.1) так, что каждому состоянию системы соответствует пара значений переменных (х, у). Обратно, каждой паре переменных (x, у) соответствует определенное состояние системы.

Рассмотрим плоскость с осями координат, на которых отложены значения переменных х, у. Каждая точка М этой плоскости соответствует определенному состоянию системы. Такая плоскость называется фазовой плоскостью и изображает совокупность всех состояний системы. Точка М (х, у) называется изображающей, или представляющей, точкой.

Пусть в начальный момент времени t = to координаты изображающей точки Mo (x (to), y (to)). В каждый следующий момент времени t изображающая точка будет смещаться в соответствии с изменениями значений переменных x (t), y (t). Совокупность точек М (х (?), y (t)) на фазовой плоскости, положение которых соответствует состояниям системы в процессе изменения во времени переменных x (t), y (t) согласно уравнениям (5.1), называется фазовой траекторией.

Совокупность фазовых траекторий при различных начальных значениях переменных дает легко обозримый «портрет» системы. Построение фазового портрета позволяет сделать выводы о характере изменений переменных х, у без знания аналитических решений исходной системы уравнений (5.1).

Для изображения фазового портрета необходимо построить векторное поле направлений траекторий системы в каждой точке фазовой плоскости. Задавая приращение At > 0, получим соответствующие приращения Ах и Ау из выражений:

Задача построения векторного поля упрощается, если получить выражение для фазовых траекторий в аналитическом виде. Для этого разделим второе уравнение системы (5.1) на первое:

Решение этого уравнения у = у (х, с), или в неявном виде F (x, y) = с, где с — постоянная интегрирования, дает семейство интегральных кривых уравнения (5.2) — фазовых траекторий системы (5.1) на плоскости х, у.