В помощь студенту и преподавателю

Решение типовых задач

Задача 1. В таблице приведены данные о длительности разговоров по мобильным телефонам (ч) и емкости аккумуляторных батарей (мА ч).

Таблица 1

Исходные данные

• 1. Вычислить коэффициент корреляции.
• 2. Существует ли статистически значимая линейная зависимость между длительностью разговоров и емкостью аккумулятора, если принять уровень значимости 0,05?

Решение

1. Определим коэффициент корреляции, но формуле (8.2): для этого составим расчетную таблицу:

Таблица 2

Следовательно, длительность разговоров по мобильному телефону незначительно зависит от емкости аккумулятора.

2. Рассчитаем значение /^критерия Фишера, используя формулу.

Сравним это значение с табличным значением F-критерия Фишера при уровне значимости 0,05: F_r = 4,75, т. е. F_T > F₍,_y

Поскольку табличное значение F-критерия Фишера больше расчетного, то нельзя утверждать, что статистически значима линейная зависимость между длительностью разговоров и емкостью аккумулятора (на уровне значимости 0,05).

Задача 2. В таблице приведены данные по 8 рабочим механического цеха завода.

Таблица 1

Исходные данные

• 1. Определить наличие связи между стажем работы и выработкой рабочего.
• 2. Найти линейное уравнение этой связи, проанализировать его качество, рассчитать коэффициент эластичности и дать его интерпретацию.
• 3. Сделать следующий прогноз: какова будет выработка рабочего, если стаж работы составит 12 лет.

Решение

1. Определим коэффициент корреляции, воспользовавшись Microsoft Office Excel 2007.

Для этого:

• 1) выберем Данные —" Анализ данных —" Корреляция;
• 2) заполним диалоговое окно ввода данных и параметров вывода.

Результаты вычислений сведем в таблицу:

Поскольку Гад. = 0,92, связь между стажем работы и выработкой рабочего тесная.

Коэффициент детерминации г~ = 0,846, т. е. вариация выработки на 84,6% за;

и*

висит от стажа работы, а на 15,4% — от прочих факторов.

2. Оценим однородность исходных данных по следующей формуле:

Найдем среднее квадратическое отклонение:

Тогда , что творит о средней однородности исходных данных, а следовательно, о возможности построения линейного уравнения регрессии.

Найдем параметры а и b парной линейной регрессии у_х = а + Ьх. Для этого воспользуемся формулами (8.6) и (8.7):

Тогда

Теперь можно записать уравнение парной регрессии:

Коэффициент регрессии b показывает, что с увеличением стажа работы на один год выработка деталей в среднем возрастает на 9,2 штуки.

Определим коэффициент эластичности, используя формулу (8.8):

 — это означает, что при увеличении стажа на 1% выработка увеличивается в среднем на 0,38%.

Найдем ошибку аппроксимации (е) для оценки качества уравнения регрессии. Для этого по уравнению регрессии рассчитаем теоретические значения выработки для каждого рабочего, а затем воспользуемся формулой (8.9). Расчеты оформим таблицей (табл. 2).

Таблица 2

Расчетная таблица.

что говорит о хорошем качестве уравнения регрессии.

Для определения статистической значимости уравнения регрессии рассчитаем значение F-критерия Фишера:

Табличное значение^{-критерия} Фишера F_x=5,99 < F₍|,. Следовательно, уравнение регрессии статистически значимо.

3. Для определения прогнозного значения выработки рабочего со стажем 12 лет в найденное уравнение регрессии подставим значение фактора, равное 12 годам:

Выработка рабочего, имеющего стаж работы 12 лет, может составить 184 детали.

Задача 3. Исследовать зависимость суммы активов (у) (млн руб.) коммерческих банков разных регионов РФ от кредитных вложений (v,) (млн руб.) и величины собственного капитала (л'₂) (млн руб.), пользуясь данными табл. 1.

• 1. Определить парные линейные коэффициенты корреляции.
• 2. Построить множественное уравнение регрессии в натуральном и стандартизованном масштабах. Сделать выводы о направлении и силе связи результативного признака с каждым из факторов, а также о сравнительном влиянии факторов на результат.
• 3. Выполнить расчет прогнозного значения результата, предполагая, что прогнозные значения факторов составят 106% их среднего уровня.

Таблица 1

Исходные данные.

Решение

1. Матрицу парных коэффициентов корреляции переменных можно рассчитать с помощью Microsoft Office Excel 2007, используя инструмент анализа данных Корреляция.

Для этого:

• 1) выберем Данные —"Анализ данных —" Корреляция;
• 2) заполним диалоговое окно ввода данных и параметров вывода.

Результаты вычислений представлены в табл. 2.

Таблица 2

Расчетная таблица.

На основе данных, приведенных в табл. 2, можно сделать вывод о том, что между суммой активов (у) коммерческих банков и кредитными вложениями (.Vj) существует тесная прямая связь, поскольку ^г_ух~ 0,858, а между результатом и величиной собственного капитала (*₂) связь средняя: г_ух= 0,453.

• 2. Построение уравнения регрессии в натуральном масштабе выполним с помощью Microsoft Office Excel 2007. Для этого надо произвести следующие действия.
• 1. Выбрать Данные —> Анализ данных —> Регрессия.
• 2. В диалоговом окне Регрессия сделать следующее:
  • — ввести в окне редактирования Входной интервал У диапазон зависимой переменной;
  • — ввести в окне редактирования Входной интервал Xдиапазон факторных переменных .г j, х₂;
  • — установить флажок Метки, если первая строка содержит название столбцов;
  • — установить флажок Константа-ноль, если в уравнении регрессии отсутствует свободный член а;
  • — ввести в окне редактирования Выходной интервал номер свободной ячейки на рабочем листе;
  • — нажать кнопку ОК

Результаты расчета с помощью Microsoft Office Excel 2007 представлены в табл. 3.

В табл. 3 в столбце «Коэффициенты» показаны значения параметров уравнения множественной регрессии: в строке «Т-пересечение» — значение параметра а; в строке «Х}» — строке «х₂» — Ь₂.

Таким образом, уравнение множественной регрессии в натуральном масштабе имеет вид у = 79,24 + 1,12дг, + 2,62х._г

Таблица 3

Построение уравнения множественной регрессии.

Следовательно, при увеличении кредитных вложений на одну единицу (1 млн руб.) сумма активов в среднем возрастет на 1,12 млн руб. при закреплении величины собственного капитала на его среднем уровне, а при увеличении величины собственного капитала на одну единицу (1 млн руб.) сумма активов возрастет в среднем на 2,62 млн руб. при закреплении кредитных вложений на их среднем уровне.

Уравнение множественной регрессии в стандартизированном масштабе (см. формулу (8.20)) имеет вид.

Для определения^{-коэффициентов} воспользуемся формулой (8.29):

Тогда t_y = 0.803f, + 0. Ht_r

Так как |р,|> р,|, то можно сделать вывод, что фактор сильнее влияет на результат, чем фактор х₂.

Проверим влияние факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности по формулам (8.28). Для этого найдем среднее значение результата и факторов:

Это означает, что при увеличении кредитных вложений (.г,) на 1% от их среднего уровня валовой региональный продукт (у) увеличивается на 0,75% от своего среднего уровня, а при увеличении величины собственного капитала (.t₂) на 1% от его среднего значения результат снижается на 0,20%. Очевидно, что сила влияния факторах_л сильнее, чем факторадг₂. Аналогичные выводы о силе связи мы получили, сравнивая р-коэффициенты.

Определим совокупный коэффициент детерминации (см. формулу (8.26)):

Следовательно, валовой региональный продукт на 75% зависит от кредитных вложений (.Tj) и величины собственного капитала (д*₂), а на 25% — от других факторов, не учтенных в модели.

Полученное значение множественного коэффициента детерминации совпадает с результатами расчета, выполненными с помощью Microsoft Office Excel 2007 и представленными в табл. 3 в строке «А'-квадрат».

3. Для определения прогнозного значения результата рассчитаем прогнозные значения факторов и подставим их в уравнение множественной регрессии в натуральном масштабе:

Тогда, если прогнозные значения факторов увеличатся на 6% от своего среднего уровня, прогнозное значение средней суммы активов коммерческих банков составит.

Задача 4. Используя данные табл. 1, определить теоретическое корреляционное отношение и коэффициент детерминации.

Таблица 1

Показатели по 10 предприятиям отрасли, млн руб.

Решение

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле (8.11).

Для этого найдем среднее значение результата и вычислим параметры уравнения регрессии с помощью Microsoft Office Excel 2007 (Регрессия), выполнив действия, описанные в задаче 3. Результаты расчета с помощью Microsoft Office Excel 2007 представлены в табл. 2.

Уравнение регрессии имеет вид

Среднее значение

Таблица 2

Построение уравнения регрессии.

Составим расчетную таблицу для определения коэффициента детерминации

Таблица 3

Расчетная таблица.

Тогда коэффициент детерминации составит

Поскольку теоретическое корреляционное отношение составило 0,79. то можно говорить о тесной линейной связи. Вариация результативного признака (объем реализованной продукции) на 62% зависит от балансовой прибыли, а на 38% от влияния прочих неучтенных факторов.

Задача 5. Установить наличие связи между цветом глаз матерей и сыновей, если известно, что светлые глаза имеют 475 сыновей светлоглазых мам и 158 сыновей темноглазых мам, а темные глаза — 216 сыновей светлоглазых мам и 369 сыновей тем иоглазых мам.

Решение

Для определения степени связи двух признаков, вариации которых носят альтернативный характер, рассчитаем коэффициенты ассоциации и контингенции, построим четырехклеточную таблицу.

Таблица 1

Расчетная таблица.

Тогда коэффициент ассоциации по формуле (8.30) составит.

Связь между цветом глаз матерей и сыновей существенна, так как К_;нтоц > |0,5|.

Рассчитаем коэффициент контингенции по формуле (8.31):

Коэффициент контингенции подтверждает наличие существенной связи, поскольку К_конт > |0,3|.