Архитектура математики. 
Философия математики

Идея выше факта.

Оноре де Бальзак

Большинство математиков в своей работе придерживаются обычной теории множеств, соответствующей системе Цермело—Френкеля. В 1937 году образовалась группа французских математиков под псевдонимом Бурбаки. Они наметили изложить всю математику строго аксиоматически на основе теории множеств. Бурбаки выпустили около 40 томов издания «Элементы математики». Начали с теории множеств. Затем последовали абстрактная алгебра, общая топология, теория функций действительного переменного, топологические векторные пространства, общая теория интегрирования.

Бурбаки определили математику как науку о математических структурах, все многообразие которых сводилось ими к трем фундаментальным типам структур: алгебраической, порядковой и топологической. Математические связи между ними показаны в Приложении А. Свою методологию они изложили в прекрасной статье «Архитектура математики» (см. [65]). Интересно и полезно заметить, что Жан Пиаже связывает основные типы математических структур с подобными, отвечающими им, умственными структурами и способностями человеческого интеллекта [421].

Подчеркнем, что понятие структуры является основной общенаучной и философской категорией, широко используемой в исследовании сложных систем. Структурой объекта называется совокупность устойчивых связей его элементов, позволяющих идентифицировать этот объект как вполне определенную целостность. Бурбаки сформулировали понятие математической структуры на основе аксиоматикодедуктивного подхода.

Математической структурой называется произвольное непустое множество с заданной на нем системой операций и отношений [66]. Математические структуры «говорят» на языке теории множеств. В основе алгебраической структуры лежит понятие алгебраической операции, выражающей в абстрактном виде идею вычисления. Порядковая структура — это упорядоченное множество; отношение порядка на нем позволяет сравнивать элементы «по величине». Топологическая структура выражается в понятии топологического пространства, формализующего идеи непрерывности и предельного перехода.

Российский тополог А. В. Архангельский в статье [23] к указанным трем типам структур добавляет структуры с мерой, в которых находит свое выражение идея интегрирования (см. [64, 581]). Можно рассматривать также структуры инцидентности, часто встречающиеся в геометрии, комбинаторике и теории графов [7,11,139,142, 200, 248, 582].

Итак, абстрактные математические моноструктуры можно классифицировать следующим образом:

• 1. Алгебраические структуры (алгебры).
• 2. Порядковые структуры (упорядоченные множества).
• 3. Топологические структуры (топологические пространства).
• 4. Пространства с мерой (и с системами мер).
• 5. Структуры инцидентности (геометрии, графы).

Понимание математической структуры по Бурбаки является зауженным. Оно заметно игнорирует качественную и конструктивную стороны математики. В бурбакистской классификации отсутствуют также комбинаторные и наглядно-геометрические структуры. По этому поводу французский математик Рене Том замечает, что «не нужно думать, что знание стандартных математических структур исчерпывает математику. Как раз наоборот: эти структуры представляют собой лишь наиболее поверхностные аспекты» [543].

Очень важно понимать диалектику содержательно-интуитивной и формально-логической сторон современной математики. Исходя из системного социокультурного подхода, В. А. Тестов [536, с. 25] предлагает под математической структурой понимать совокупность устойчивых связей, обеспечивающих целостность математического объекта.

Эти определяющие связи могут быть заданы различными способами: формально-аксиоматически, конструктивно, описательно, наглядносодержательно.

В связи с мощным развитием компьютеров и высоким уровнем математического формализма математики склоняются к тезису Гильберта о том, что языком современной математики все в большей и большей степени становится язык логики предикатов первого порядка.

Следует заметить, что принятие этого формализма приводит ко многим неопределенностям. Теории основных числовых систем оказываются некатегоричными. В любой арифметической теории неустранимо существуют неразрешимые предложения (теорема Геделя о неполноте). Имеют место результаты Геделя и Коэна о независимости континуум-гипотезы от канонической аксиоматики теории множеств Цермело—Френкеля. Существуют альтернативные аксиоматические теории множеств, в которых не выполняются многие теоремы классического анализа. Получается, что строго формально нельзя определить одно из фундаментальных понятий математики — континуум. Более того, и содержательными средствами не удается решить проблему континуума.

По Гильберту, «математика — наука о бесконечности». В 1979 году математики Парис и Харрингтон доказали, что в формальной арифметике понятие актуально бесконечного множества невыразимо (см. [336, с. 148]). Это означает невозможность строгой арифметизации анализа, стало быть, необходимо непосредственное рассмотрение содержательной математики либо тот или иной тип аксиомы бесконечности, скажем, в рамках аксиоматической теории множеств. Тем не менее, понимая относительность принципов математики, Вейль подчеркивал главное в ней — объективность [78].

Литература

: [7, 11, 23, 64—66, 78, 139, 142, 248, 336, 421, 536, 543, 581, 582].