В помощь студенту и преподавателю

Решение типовых задач

Задача. 1. Рассчитать средние значения следующих характеристик федеральных округов РФ за 2010 г. (табл. 1).

Таблица 1^[1]

Исходные данные для расчета значений статистических характеристик по федеральным округам РФ за 2014 г.

Источник: Россия в цифрах. 2016. Табл. 4.2, 4.10, 5.2, 5.3.

• 2. Определить порядок расчета среднего значения каждого признака. Привести расчетную формулу для вычисления среднего значения каждого признака в целом по России.
• 3. Указать вид и форму каждой средней. Для взвешенных средних указать, что используется в качестве признака-веса.
• 4. Проверить правильность расчета средних величин.

Решение

• 1. При определении вида признака важно выявить признаки, связанные с абсолютным размером единицы, и признаки, которые не могут отразить размеры единицы. В первую очередь, следует установить единицу изучаемой совокупности. В данном примере это федеральный округ. Тогда признаки «Численность населения» и «Фонд оплаты труда занятых в экономике» следует отнести к абсолютным, или первичным, а признаки «Процент экономически активного населения». «Процент безработных в ЭА11» и «Доля оплаты труда в денежных доходах населения» — к относительным, или вторичным признакам.
• 2. Для точного понимания смысла каждого признака следует выяснить порядок расчета его значения. Значения первичных признаков определяются путем суммирования значений признака у отдельных составных элементов каждой единицы, т. е.

Например, для расчета общей численности населения федерального округа суммируется численность населения областей в составе федерального округа, а предварительно суммируется численность населения районов в составе каждой области и города. Точно такой же порядок расчета сохраняется при определении средней по всем федеральным округам: выполняется суммирование численности населения изучаемых федеральных округов , а среднее значение определяется как отношение общей численности населения к числу единиц, т. е. к числу федеральных округов:

Аналогичные рассуждения применимы к признаку «Фонд оплаты труда занятых в экономике, млрд руб.», Ф,. Индивидуальные значения признака в федеральном округе также обобщают его значения по территориям в составе каждого федерального округа: Общая средняя для федерального округа рассчитывается как отношение суммы федеральных фондов заработной платы к числу федеральных округов:

. Таким образом, расчет общей средней для первичных признаков выполняется по формуле простой средней арифметической: для численности населения.

для фонда заработной платы

Из трех признаков по условию задачи известны значения двух: численность населения Н; и процент ЭДН, Р,. Значения неизвестного признака — «Численность экономически активного населения (ЭАН)» — необходимо рассчитать, используя известные признаки Н, и Р_г Выразим неизвестный признак «Численность ЭАН» через два известных: ЭАН₍ = Н- • P_t. Добавим в исходную таблицу новый столбец и покажем в нем значения численности ЭАН: Численность (табл. 2).

Таблица 2

Значения численности ЭАН по федеральным округам РФ

Для определения среднего процента экономически активного населения (Р) используем тот же порядок расчета, основываясь на данных, но всем федеральным округам. То есть вычислим средний процент как отношение суммы численности ЭАН, но всем регионам и суммы численности населения Очевидно, что расчет средней выполняется по арифметической взвешенной, в которой весом является численность населения Н:

Процент безработных в численности ЭАН представляет собой отношение численности безработных к численности ЭАН: Выразим неизвестный признак «Безработные» через известные: «Экономически активное население (ЭАН)» и 4Процент безработных в ЭАН" (Б):

Тогда расчет индивидуальных значений процента безработных имеет вид.

Для расчета численности безработных добавим в таблицу исходных данных столбец «Безработные, млн чел.» (табл. 3).

Таблица 3

Расчет численности безработных по федеральным округам РФ.

Федеральный округ.		Процент безработных в ЭАН, млн чел. (Б,).
Центральный.	2.0.	4,5.	0,09.
Северо-Западный.	0,8.	6,0.	0,05.
Южный.	0.8.	6,5.	0,05.
СевероКавказский.	0,4.	15,2.	0,06.
Приволжский.	1,6.	7,3.	0,12.
Уральский.	0,7.	7,9.	0,05.
Сибирский.	1,0.	8,5.	0,09.
Дальневосточный.	0,3.	8,7.	0,03.
Крымский.	0.1.	8,3.	0,01.
Итого.	7,7.	X.	0,54.

Расчет среднего процента безработных выполняется по формулам.

Здесь использована средняя арифметическая взвешенная. Весом выступает численность экономически активного населения, равная произведению II, • Р,. Общее среднее значение безработных составило 7,5% численности экономически активного населения.

Доля фонда оплаты труда в фонде денежных доходов населения рассчитывается как отношение фонда оплаты груда Ф, к величине денежных доходов.

. Выразим неизвестную величину фонда денежных доходов через известные значения фонда оплаты труда Ф, и через заданные в условии задачи проценты Cji Порядок расчета индивидуальных значений доли фонда зарплаты в фонде денежных доходов имеет следующий вид:

Добавим в таблицу исходных данных столбец с рассчитанными значениями фонда денежных доходов, млрд руб. (табл. 4).

Таблица 4

Значения фонда денежных доходов по федеральным округам РФ.

Средняя доля фонда заработной платы в доходах рассчитывается по формуле

Здесь использована средняя гармоническая взвешенная. Весом является первичный признак «Фонд оплаты труда занятых», Ф,. Заработная плата составляет в денежных доходах населения в среднем 51,1%.

3. При расчете средней, но первичным признакам применяем простую среднюю арифметическую, порядок расчета которой полностью соответствует смыслу первичных признаков:

и.

По вторичным признакам применяются взвешенные средние, логика расчета которых соответствует логике расчета их индивидуальных значений. При расчете взвешенной средней весом всегда выступает первичный признак, по отношению к которому рассчитана данная средняя. При определении среднего процента экономически активного населения Р, среднего процента безработных в численности ЭА11 Б и средней доли фонда заработной платы в фонде денежных доходов С использованы средние взвешенные, в которых весом выступали первичные признаки «Численность населения» И, «Экономически активное население» Н- • Ри «Фонд оплаты труда занятых в экономике» Ф_г

Использованы средние арифметические взвешенные: средняя гармоническая взвешенная:

В зависимости от содержания исходных данных в расчете средней используется форма либо арифметической, либо гармонической средней. Выбор формы средней зависит от формы связи изучаемого признака с признаком-весом и характеристики исходных данных. Например, при расчете процента ЭДН необходимы значения признака «Численность ЭДН», которых нет в исходных данных. Соответствующий расчет был выполнен с учетом прямой пропорциональной зависимости численности ЭДН от изучаемого признака «Процент ЭДН в численности всего населения»:

Таким образом, при расчете средней была применена форма средней арифметической.

То же было сделано при расчете среднего процента безработных: в расчетной формуле присутствует численность безработных, данных о которых нет в расчетной таблице. Но численность безработных можно определить, учитывая ее прямую зависимость от доли безработных во всем населении:

В результате имеем для расчета форму арифметической сред11 ей:

При расчете средней доли фонда оплаты труда в фонде денежных доходов населения Ci в материалах рабочей таблицы отсутствуют значения фонда доходов. Но так как фонд доходов находится в обратной зависимости от изучаемого признака Ci, то его расчет выполняется по схеме:

В этом случае средняя рассчитывается как гармоническая:

Форма использованной в расчете средней зависит от формы связи изучаемого признака с признаком, отсутствующим в условии задачи: при прямой зависимости, т. е. при отсутствии значений признака в числителе расчетной формулы, применяются арифметическая средняя, а при обратной зависимости, т. е. при отсутствии сведений о знаменателе расчетной формулы, средняя гармоническая.

4. Для проверки правильности проведенных расчетов необходимо выяснить, находится ли значение общей средней в интервале между минимальным и максимальным индивидуальными значениями признака: Если это условие выполняется, то при расчете средней не допущено арифметических ошибок. В случае нарушения данного условия результаты расчетов следует проверить.

В нашем примере имеем следующие результаты проверки (минимальные и максимальные значения признака см. в табл. 1):

Арифметические ошибки в расчете значений средних отсутствуют: для всех признаков их средние значения находятся в интервале между наименьшим и иаибол ыи им 31 lanei i ия ми.

Выполнение правил построения общих средних позволяет получить их точные значения.

Задача 2. Приводятся данные о величине валового регионального продукта (ВРП) территорий Приволжского федерального округа в 2014 г. (табл. 1).

Необходимо:

• 1) рассчитать абсолютные и относительные показатели вариации;
• 2) вычислить показатели асимметрии и эксцесса;
• 3) сделать выводы об однородности значений валового регионального продукта и о надежности его среднего значения по федеральному округу.

Таблица 1

Величина ВРП территорий Приволжского федерального округа в 2014 г.

Источник: Россия в цифрах. 2016. Табл. 1.3.

Решение

Для расчета показателей вариации расположим территории по возрастанию изучаемого признака «Стоимость валового регионального продукта, К, млрд руб.».

(табл. 2). К числу абсолютных показателей вариации относятся размах вариации R_K, среднее линейное отклонение L_K и среднее квадратическое отклонение о_к. 11азванные показатели определяют абсолютные размеры вариации в единицах измерения изучаемого признака, и поэтому их значения по разным признакам несопоставимы.

Размах вариации — это разница наибольшего и наименьшего значений признака:

Для подсчета среднего линейного и среднего квадратического отклонений необходимо найти среднее значение изучаемого признака.

Расчет средней величины валового внутреннего продукта производится по формуле простой арифметической:

Таблица 2

Расчет среднего линейного и среднего квадратического отклонений

по ранжированному ряду

Для определения среднего линейного отклонения рассчитаем абсолютное значение разности между значениями ВРИ в У-м регионе К_{ и средней величиной К = 655,0 млрд руб. Величина среднего линейного отклонения составляет.

Среднее линейное отклонение показывает, что значения валового регионального продукта в отдельных территориях отличаются от среднего значения по федеральному округу в среднем на 408.4 млрд руб.

Для расчета среднего квадратического отклонения определим квадраты отклонений от средней. Из суммы квадратов отклонений найдем их среднее значение вел ичш iy дисперси и:

Квадратный корень из дисперсии — это среднее квадратическое отклонение, которое, в отличие от дисперсии, оценивается в единицах измерения данного признака:

Среднее квадратическое отклонение определяет средний размер отклонений индивидуальных значений валового внутреннего продукта от его среднего значения. В нашей задаче средний размер отклонений по территориям федерального округа составляет 464,9 млрд руб. Из-за разных способов расчета величина среднего квадратического отклонения (в соответствии со свойством мажорантности средних) отличается от среднего линейного отклонения всегда в большую сторону: а_к = 464,9 >L_K =408.4.

Для сравнительной оценки размеров вариации используют относительные показатели вариации: коэффициент осцилляции, линейного отклонения и вариации. Для построения этих показателей необходимо абсолютные характеристики вариации соотнести с величиной средней, а результат выразить в процентах.

Коэффициент осцилляции.

Коэффициент среднего отклонения.

Коэффициент вариации.

Значение коэффициента вариации превышает 70%. Это означает, что изучаемый признак отличается повышенной колеблемостью и неоднородностью, средняя неустойчива и ненадежна из-за присутствия аномальных значений признака: либо очень больших, либо чрезвычайно малых. Полученные результаты позволяют сделать предварительный вывод в том, что обобщающие оценки изучаемого признака с повышенной вариацией не являются типичными и информативными. При выполнении точных аналитических и прогнозных работ рекомендуется с осторожностью использовать эти оценки.

Более точную характеристику однородности значений признака и схожести фактического распределения территорий с нормальным распределением дают коэффициенты асимметрии и эксцесса. Коэффициент асимметрии определяет направление и меру скошенности фактического распределения по сравнению с нормальным:

В расчете участвует центральный момент третьего порядка:

При его расчете сохраняются знаки отклонений индивидуальных значений признака от средней, что позволяет определить направление скошенности фактического распределения (табл. 3). Коэффициент асимметрии определяется так:

Таблица 3

Расчет коэффициентов асимметрии и эксцесса по ранжированному ряду

Принято считать, что при коэффициенте асимметрии менее 1,5—1,7 выявленная скошенность не является существенной, так как ее формируют случайные причины. Получение значения коэффициента асимметрии свидетельствует, что скошенностью и неоднородностью значений изучаемого признака, предварительно установленной коэффициентом вариации, можно пренебречь и без особых опасений использовать среднюю — как в анализе, так и в прогнозе.

Коэффициент эксцесса оценивает крутизну фактического распределения и сравнивает его с нормальным распределением. В нормальном распределении эксцесс равен трем, а коэффициент асимметрии — нулю. Но при значениях эксцесса меньше единицы форма вершины отличается от нормального распределения несущественно и отражает воздействие случайных причин.

Коэффициент эксцесса т. е. центральный момент четвертого порядка соотносится со средним квадратическим отклонением в четвертой степени, из их соотношения вычитается значение эксцесса в нормальном распределении, равное трем. В рассматриваемом примере центральный момент четвертого порядка равен.

(см. табл. 3).

Получаем значение коэффициента эксцесса.

Отрицательное значение показателя означает более плоскую вершину фактического распределения по сравнению с нормальным, но выявленная особенность является характерной чертой изучаемого распределения и определяется как результат воздействия неслучайных, существенных причин.

Общий вывод из выполненных расчетов состоит в том, что распределение территорий Приволжского федерального округа по значениям валового внутреннего продукта близко к нормальному, для него является типичным значение средней величины, которое отражает характерную величину ВРИ для территорий региона.

Задача 3. Проанализировать вариацию значений коэффициента рождаемости в районах области за год, используя данные табл. 1.

Таблица 1

Исходные данные для анализа вариации значений коэффициента рождаемости

в районах области

Решение

Для решения задачи в первую очередь необходимо определить отсутствующие значения нижней границы первого интервала «до 11,07» и значение верхней границы последнего интервала «16,54 и более». Для этого рассчитаем величину интервала изучаемого признака в ближайшей группе. Во второй группе величина интервала равна i_w 2 ⁼ *_1Пах, 2 «*,_ni_n.2 ⁼ *2,89 — 11,07 = 1,82. Для четвертой группы величина интервала составила i_wi = i_max4 — i_{min 4} = 16,54 — 14,72 = 1,82. Вариационный ряд построен с равными интервалами, значения которых используем в расчете:

Расчет показателей по вариационному ряду предполагает применение точечных значений признака вместо интервальных. Определим W! как серединное значение признака в интервале и рассчитаем его как полусумму минимального и максимального значений признака в группе: Для первой группы это.

и так же производится расчет для всех остальных групп вариационного ряда (табл. 2).

Для расчета среднего значения уровня рождаемости воспользуемся формулой арифметической средней для вариационного ряда (гр. 3):

Измерим отличия значения признака в группе от его среднего значения (гр. 4): иу- W = 10,16 -13,05 = -2,89 И т.д. для всех групп.

Далее для каждой группы рассчитаем абсолютную величину отклонений (гр. 5):

W'- Wj • /•. Например, для первой группы |W₁'-U'|-/₁=|-2.89|-9 = 26.01 и т. д. Величину среднего линейного отклонения определим, применяя арифметическую среднюю для вариационного ряда:

Для расчета среднего линейного отклонения возведем в квадрат значения отклонений для каждой группы:. Например, для первой группы.

(W[-V) — (-2,89) = 8,35 (гр. 6). Затем, используя число единиц в группе fi, определим для каждой группы (№" - 1Г)~ • J, и подсчитаем сумму их значений:

Расчет показателей, но вариационному ряду.

Таблица 2

Расчет среднего квадратического отклонения выполним по форме средней квадратической для вариационного ряда:

Коэффициент вариации определяет, сколько процентов величины средней составляет среднее квадратическое отклонение:

В данном примере коэффициент вариации не превышает 30%, что позволяет говорить об однородности регионов России по коэффициенту рождаемости, соответственно о надежном значении средней величины и о возможности использования ее в аналитических и прогнозных расчетах.

Для оценки степени схожести фактического распределения объектов с нормальным распределением рассчитаем коэффициенты асимметрии и эксцесса.

Цо Коэффициент асимметрии As = —j предполагает определение значения централ ь;

а ного момента третьего порядка р₃. Его расчет по вариационному ряду выполняется по арифметической средней с учетом числа единицв каждой группе (табл. 3, гр. 4 и 5):

Имеем Тогда (раза). Коэффициент асимметрии, значение которого не превышает 1,5—1,7, указывает на отсутствие существенной скошенности в фактическом распределении: форма фактического распределения незначительно отличается от нормального распределения, а установленные различия — это результат влияния случайных причин, который можно не принимать во внимание.

Для расчета коэффициента эксцесса определим центральный момент четвертого порядка Расчет выполняется возведением в четвертую степень отклонений от средней и с учетом числа единиц в каждой из k групп:

Таблица 3

Рассчетные значения для определения коэффициентов асимметрии и эксцесса.

Имеем Тогда коэффициент эксцесса составит.

Отрицательное значение коэффициента указывает на более плоскую форму вершины фактического распределения по сравнению с нормальным распределением. Это значит, что в непосредственной близости от средней находится чуть меньше объектов, чем в нормальном распределении. При гораздо большем значении коэффициента это указывало бы на нетииичность средней, на ее ненадежность. В данном случае эксцесс незначителен, он является результатом действия случайных причин, поэтому его можно не принимать во внимание.

Для иллюстрации фактического распределения построим два графика: столбиковую диаграмму гистограмму (рис. 1) и линейный график полигон распределения частот (рис. 2).

Графики показывают наличие скошенности фактического распределения вправо, в сторону более высоких значений коэффициента. Но, как уже было указано, эти отклонения носят несущественный, случайный характер, что не влияет на надежность средней и на однородность региональных значений коэффициента рождаемости.

ЗадачаПроанализировать данные о распределении занятых в экономике двух федеральных округов РФ по формам собственности, используя данные табл. 1.

Для решения задачи преобразуем исходную таблицу и выполним в ней расчет.

относительных показателей структуры — частостей — 100%, выразив их в процентах к итогу (табл. 2).

Рис. 1. Распределение территорий по значениям коэффициента.

рождаемости

Рис. 2. Распределение территорий по значениям коэффициента

рождаемости

Определение абсолютных показателей различий двух структур основано на разности частостей безучета их знака: |Р, • - Р_{) -|. При расчете среднего линейного отклонения определим сумму отклонений и разделим ее на число структурных групп к. т. е. применим арифметическую среднюю (табл. 3).

Таблица 1

Исходные данные для анализа распределения занятых в экономике Центрального и Уральского федеральных округов в 2014 г.

Таблица 2

Расчет относительных показателей различий структуры

Таблица 3

Расчет абсолютных показателей различий структуры

При расчете среднего квадратического отклонения разность возводим в квадрат, из суммы квадратов рассчитываем среднюю и извлекаем из нее квадратный корень. Для расчета а₇, используем среднюю квадратическую. Показатели абсолютных различий структурных групп измеряются в процентных пунктах, так как результат оценивает не долю части в целом, что свойственно показателю процента, а величину числителя на единицу знаменателя.

В нашем примере.

Результаты расчета показывают, на сколько процентных пунктов в среднем отличается удельный вес структурной группы. Линейный коэффициент составил 2,1, а квадратический — 2,56 процентного пункта. Соотношение K_L = 2,1 < К_а = 2.56 подтверждает правило мажорантности средних величин, по которому более высокая степень средней дает более высокое значение результата расчета.

Выявленные различия невелики, но для более точной оценки необходимо рассчитать относительные или нормированные показатели. Их задача — показать, какую часть составляют фактические различия структур в предельно возможных различиях. Относительные или нормированные показатели измеряются в процентах и позволяют более точно оценить выявленные различия.

Рассмотрим порядок расчета двух нормированных коэффициентов: Гатева и Рябцева. Каждый из них оценивает фактические различия двух структур, но отношению к возможным их различиям.

Таблица 4

Расчет нормированных показателей различии структуры.

Для расчета коэффициентов определим величину возможных различий по формуле Гатева и по формуле Рябцева (табл. 4).

Подставив в формулы соответствующие значения, получим:

В силу того что знаменатель коэффициента Рябцева больше знаменателя коэффициента Гатева, результаты отличаются. Коэффициент Рябцева оценивает выявленные различия как менее значительные, а сами сравниваемые структуры как более однородные, близкие. Коэффициент Гатева оценивает выявленные различия как более значительные.

Используя шкалу атрибутивных оценок для коэффициента Рябцева, изучаемые структуры можно характеризовать как структуры с весьма низким уровнем различий. Это означает, что различия в распределении занятого населения по формам собственности в Центральном и Уральском федеральных округах несущественны. Основная часть занятого населения работает в организациях частной формы собственности, значительно меньшая часть — в организациях государственной и муниципальной форм и еще меньшая часть в организациях смешанной и иностранной форм собственности.

• [1] Определить вид каждого признака: абсолютный (первичный) или относительный (вторичный).