Основные трендовые модели

Линейный тренд

Самым простым уравнением и с точки зрения построения, и с точки зрения интерпретации является уравнение прямой. Построение линейного тренда у_{ = а + Ы, сводится к определению двух параметров: свободного члена а и коэффициента Ь. Расчет этих параметров осуществляется решением следующей системы уравнений:

где п — число уровней ряда; ?,• — порядковый номер периода времени; г/, — эмпирические значения уровней ряда.

Если отсчет времени начинается с первого уровня ряда, то свободный член а — это значение показателя в начале отсчета. Коэффициент регрессии Ь показывает, на сколько в среднем в единицу времени происходит изменение уровней временного ряда в его единицах измерения. При выполнении расчетов вручную для их упрощения используют следующий прием — за начало отсчета выбирают серединный уровень ряда. Тогда сумма пронумерованных периодов становится равной нулю и система уравнений для нахождения параметров уравнения существенно упрощается:

При этом свободный член а становится средним уровнем ряда.

Рассмотрим расчет параметров прямой на примере общей площади жилых помещений, приходящейся в среднем на одного жителя г. Санкт-Петербурга с 2005 по 2011 г. По исходным данным (табл. 12.6) видно, что значение показателя от года к году увеличивается, причем ежегодный рост общей площади жилищ в среднем на одного жителя примерно одинаков и составляет 0,3 м².

Таблица 12.6

Расчет теоретических (выравненных) уровней линейного тренда.

Окончание табл. 12.6

Заполнив расчетную таблицу и получив необходимые суммы, подставим их в систему уравнений и найдем параметры прямой:

Полученное уравнение будет следующим: г/, =21,04 + 0,332^-. Исходный динамический ряд и полученная прямая представлены на рис. 12.5.

Рис. 12.5. Динамика общей площади жилищ на одного жителя

Если в качестве начала отсчета выбрать середину ряда, то аналогичный расчет будет выглядеть следующим образом (табл. 12.7).

Таблица 12.7

Расчет теоретических (выравненных) уровней линейного тренда

В результате вычислений по эмпирическим данным построены два уравнения, в которых коэффициент прироста одинаков, различаются лишь значения свободных членов уравнений. Параметр Ь = 0,332 означает, что в среднем в год происходит рост общей площади жилищ па одного жителя Санкт-Петербурга на 0,332 м². Свободный член показывает теоретическое (выравненное) значение показателя в начале отсчета: в первом варианте — в начале динамического ряда, во втором — в середине ряда. Можно добавить, что во втором случае свободный член является средним значением уровней динамического ряда, т. е. средняя общая площадь жилья за этот период составила 22,37 м² на одного человека.