Диффузия в среде, содержащей отдельные включения

Рассмотрим диффузию зонда в однородной среде, содержащей отдельное включение простой формы. В этом случае возникает задача обтекания диффузионным потоком отдельного препятствия.

Включениекруглый бесконечный цилиндр радиуса г₀ из вещества с коэффициентом диффузии D₂ и константой растворимости Г₂,.

находящийся в бесконечной однородной среде с коэффициентом диффузии/), и константой растворимости Г_ь через которую проходит стационарный диффузионный поток с плотностью потока ./(ось цилиндра направлена перпендикулярно потоку).

Рис. 8. Распределение концентрации диффузанта вокруг непроницаемого цилиндра радиуса ю мкм в режиме проницаемости мембраны толщиной //=300 мкм: i — D,=ю^-? см²/с, D>=о; 2 — Di=io ~ см²/с, D₂=oc.

Решение будем искать в цилиндрической системе координат (г, ф, z)_y записав уравнение Лапласа в виде:

Используем условия на границе включения:

С₂=КС_Х

(/С=Г,/Г₂) и /),(dC,/d?')=/MdC₂/dr) и условия для вмещающей среды: С"=- (J_r/D)cos (p=C_H (в бесконечности поле однородно) и С (о)*эо, где С" - концентрация диффузанта в «идеальной» среде с коэффициентом диффузии D,.Распределение концентрации диффузанта в пространстве вне цилиндра: Ci=C_H(x)+C,*®, внутри цилиндра: C₂=C_H(A')+CV®, где СГ и С₂* определяют искажающее действие включения.

В методе проницаемости C"(x)=C₀(i-x/H).

Возмущение концентрации вне цилиндра.

Цилиндрическое включение сказывается (с точностью до 5%) на распределении концентрации диффузанта до расстояния в 2,5 раза превышающего его диаметр.

Включение — шар. Задача Гуммея: в поле однородного диффузионного потока в среде с коэффициентом диффузии D, помещён шар радиуса Го, в котором коэффициент диффузии?₂.

Рис. 9. Огибание одиночного цилиндра диффузионным потоком: а — непроницаемое включение; б — полупроницаемое включение; в — сильно проницаемое включение (пора).

*__"__*.

Математический аппарат диффузии в пассивных гетерогенных средах относительно простой структуры достаточно хорошо разработан. Трудности связаны не столько с самой диффузией, сколько с растворимостью, поскольку различная растворимость в разных фазах приводит к разрывам концентрационных полей. Поэтому приходится прибегать к численным методам решения уравнений.