Распределение Леви. 
Высшая математика: математический аппарат диффузии

Случайный процесс X (t) с параметрами oустойчивым симметричным (относительно р) a-распределением Леви. Процесс Леви (L-процесс) — однородный процесс с автомодельным одномерным распределением

где д^(а)(х) — плотность распределения.

Замечание. Законы и Гаусса и Леви принадлежат к общему классу устойчивых распределений вероятностей, которые характеризуются индексом, а (о<�а²) — индекс устойчивости, характерный показатель. Для Гаусса равен а=2, а для закона Леви а=о, 5.

а-Распределение Левинепрерывное распределение вероятности для неотрицательной случайной переменной. Это одно из немногих устойчивых распределений;имеет функцию плотности вероятности, выраженную аналитически; закон элементарного прыжка не даёт всех конечных моментов, но обладает нормировкой. Форма распределения Леви в явном виде известна только для двух значений а. При а=1 распределение Коши, а при а=2 — распределение Гаусса. Обладает свойством масштабной инвариантности, для него характерно наличие медленно спадающей асимптотики (тяжёлого хвоста): сходится к степенном}' закону для больших значений х; имеет место значительное количество больших флуктуаций, способных возникать посредством одного прыжка.

Функция плотности вероятности симметричного распределения ЛевихеГи. со) по области д:>ии v>o имеет вил:

где erfc (z) — дополнительная функция ошибок.

Важное свойство стандартной формы распределения Леви: f{x;n, y) dx=J{y;o_yi)dy где у=(х-л)/ у.

У У

Среднее равно со, медиана —-ггдля р=о, мода — для.

2{erfc'{l/2)f 3.

ц=0, дисперсия со, показатели асимметрии и островершинности в моде не.

1 + 3*₍, + 1п (16лг) определены, энтропия —-, где к_е- константа Эйлера.

Характеристическая функция (f{tS, у) — е'^а ^ ^2,)* записывается в форме устойчивого распределения с a=i/2 и p=i:

При 6=о, п-ый статистический момент распределения Леви:

Интеграл расходится для всех п> о так что моментов у пределения Леви не существует! Поэтому при работе с а- распределением Леви нельзя использовать математическое ожидание и дисперсию (переходят к усечёнными распределениям).

Рис. 4. Нормальное распределение (l) и распределение Леви (2). По абсциссе — величина флуктуации в.

единицах дисперсии, по ординате — логарифмический масштаб.

Моменты генерирующей функции тогда определяются как.

Они расходятся при t>о и, следовательно, не определены в районе нуля, так что функция, генерирующая моменты, не определена.

Среднее оо; медиана o^y Cerfc ^o^)² для 5=0; мода у/з для 5=0; дисперсия со; асимметрия и крутизна в моде не определены; энтропия 0,5{1 + Зг_е + 1п (16лг²)}, где у_е— константа Эйлера.

Как у всех устойчивые распределений, кроме нормального, крылья функции плотности вероятности ведут себя как тяжёлые хвосты, падая по степенному закону:

При а<2 ширина диффузионного пакета растёт со временем быстрее, чем V/, а именно, пропорционально — стохастическая модель супердиффузии.

Распределения Леви используются для описания двух типов случайных блужданий: l) случайных блужданий с непрерывным распределением временных интервалов и 2) случайных блужданий в пространствах нецелой размерности (фрактальных пространствах).

Блуждание с непрерывным временем называется (СБИВ) (Continuous Time Radon Walk, CTRW). В рамках этой модели полагают, что вероятность обнаружить в момент измерения t частицу в точке г складывается из вероятности постоянного пребывания частицы в исходной точки без перемещений и вероятности того, что в один из промежуточных моментов t' частица совершит мгновенный перескок из точки рождения г₀=о в точку наблюдения и г останется в ней до момента наблюдения t. Далее рассчитывают вероятность обнаружения частицы, совершившей два перелёта, разделённых между собой случайным временным интервалом и т. д. В результате находят распределение времен полётов. Длины полётов частиц случайны, взаимно независимы и никак не связаны с временами задержки частицы в состоянии покоя (ловушках). Модель используется для описания немарковских процессов и учёта недиффузионных эффектов (память, большие скачки, ловушки диффузанта и др.). Она приводит к дробным уравнениям диффузии, в которых производные дробного порядка в пространстве и времени зависят от кинетики развития скачков и от времен пребывания в ловушках.

В классической диффузии закон прыжка достаточно прост — частица способна совершить прыжок в любую точку некоторого объёма, причёт величина скачка фиксирована: частица перемещается с одного местоположения в соседнее. При аномальной диффузии прыжок может быть большим: частица пролетает несколько смежных местоположений. Возможны и ситуации, когда длина скачка равна нулю (частица в ловушке). При описании миграции параметр Леви в выражении для вероятности распределения случайных блужданий Леви можно варьировать как за счёт показателя степени функциональной зависимости а, так и за счёт размерности пространства. Распределение Леви используется также при описании броуновского движения с адвекцией (сносом).Помимо этоготипа движения, все другие процессы имеют траектории с разрывами.

В теории вероятностей, процесс Леви — случайный процесс с независимыми, стационарными приращениями: он представляет собой движение точки, последовательные перемещения которой являются случайными и независимыми, и статистически тождественны по различным интервалам времени такой же длины. Процесс Леви — непрерывный во времени аналог случайного блуждания, однородный процесс с автомодельным распределением.

где а=1 /Я/, g{x, a) ос г^_,_а

Переход от процесса Винера к процессу Леви осуществляется заменой условия конечности дисперсии требованием автомодельности. Ширина диффузионного пакета при а<2 растёт со временем быстрее чем 4t, а именно, пропорционально t¹/⁰. При этом форма его описывается устойчивым распределением с показателем а. Дисперсия бесконечна, но ничто не мешает воспользоваться любой другой мерой ширины (шириной на половине высоты пика или шириной интервала, содержащего фиксированную вероятность). Эта стохастическая модель описывает супердиффузию.

Особенности движения Леви:

• — дисперсия пространственного распределения бесконечна и не может служить характеристикой ширины диффузионного пакета;
• — ширина диффузионного пакета (определяемая, например, по ширине на полувысоте или медианой) растёт со временем пропорционально р/'²— быстрее, чем в случае классической диффузии.
• — траектории частиц характеризуются разрывами первого рода (полётами Леви);

Эти признаки позволяют отнести Леви-движение к супердиффузии. Большие скачки обусловлены наличием больших пустот во всех масштабах, что дает основание говорить о фрактальной структуре среды.

Полет Леви — случайное блуждание (марковский статистический процесс), в котором длина скачка изменяется ступенчато, миграция изотропна, направление скачков изменяется случайным образом, а распределение вероятностей —частный случай распределения Парето — характеризуется тяжёлыми хвостами (спад по степенному закону г^1-в, о<�а<2). Определяется как скачок в пространстве с размерностью больше 1, причем скачок осуществляется изотропно в случайных направлениях. Это— инструмент описания аномальных стохастических процессов. Дисперсия бесконечна (возможны скачки большой длины), длины скачков самоподобны на всех уровнях (короткие скачки перемежаются длинными полётами, а средняя длина скачка зависит от фрактальности системы (a=d/, для классического блуждания df= 2). Термин полёт Леви иногда распространяют и на случайное блуждание происходящее на дискретной сетке, а не в непрерывном пространстве. Плотности вероятности для полётов Леви моделируют, используя обобщённое уравнение Фоккера-Планка с дробной производной по координате.

Если миграция подчиняется распределению Леви, то плотность распределения расстояний, пройденных частицей при больших г уменьшается по степенному закону (а не по экспоненте, как это имеет место при распределении Гаусса):

p®~|r|-(<^/+u) при |г|—"о, где d — размерность пространства, о<�а<2.

При а=1 имеем d-мерное распределение Коши (дисперсия бесконечна)

В случае одномерной диффузии

Дисперсия распределения определяется выражением.

где v=H/(o.

если р=1 то Помимо распределения длин скачков, вводится распределение времён полёта частицы. В слушае постоянной скорости случайного блуждания с вероятностью совершения полета длиной гпри условии, что полет был длительностью f, плотность вероятности того, что время полёта частицы равна t, имеем Вид формул для расчёта зависимостей дисперсии распределения по временам зависит от параметра а:

В первом случае среднее время полёта t бесконечно, во втором имеем логарифмическое расхождение, в третьем случае — среднее время конечно, в четвёртом — логарифмически расходится t², в последнем случае среднее t² конечно. Возможны и другие зависимости.

Для инерционного пробега турбулентного потока для частицы движущейся со скоростью на расстояние R, зависимости дисперсий распределений пройденных расстояний от времени при некоторых значениях параметра, а имеют вид.

Очевидно, что более длительные полёты совершают частицы, обладающие большой энергией, и, следовательно, большей скоростью.

Понятие полетов Леви используют в теории хаоса, при моделировании случайных или псевдослучайных природных явлений (например, полёта альбатроса, сочетающего длинные и короткие траектории). Примеры включают в себя анализ данных о землетрясениях, финансовая математика, криптография, анализ сигналов, турбулентное движение, а также множество применений в астрономии, биологии и физике. Отсутствие второго момента распределения Леви предполагает неограниченность флуктуаций. В природе таких флуктуаций нет; для интерпретации реальных случайных процессов используют усеченные распределения Леви. Блуждание в потенциальном ландшафте даёт усеченное распределение Леви.

Усечённое распределение Леви (усечение хвостов) вводится длялучшего соответствия теории с экспериментом, в основном для предотвращения ситуации, когда первый и/или второй моменты бесконечны. В усечённом распределении закон, управляющий скачками частицы тот же, что и в распределении Леви, но значения математического ожидания и дисперсии конечны, аболее высоких моментов не существует. Моменты существуют у усечённых устойчивых распределений, полученных различными способами облегчения хвостов исходной параметризации (в терминах плотности, в терминах спектрального разложения характеристической функции или меры безгранично делимого распределения). Модификации теряют свойство устойчивости, но большинство из них являются безгранично делимыми и, значит, могут быть обоснованно использованы в статистическом анализе диффузионных скачков.

Поскольку функции распределения и плотности для этих распределений не существуют в явном виде, то для повышения эффективности вычислений необходимо использовать специально адаптированные под конкретную модель и распределение алгоритмы численной аппроксимации, основанные главным образом на применении алгоритма быстрого преобразования Фурье в дискретном варианте.

Усечённые блуждания Леви похожи на обычные блуждания Леви для небольших амплитуд флуктуаций. До определенного значения флуктуации график усечённого распределения Леви совпадает с графиком обычного распределения Леви, но при больших флуктуациях опускается ниже (усекается) на 1−2 порядка величины. Статистическое распределение имеет как минимум второй момент, а в области малых флуктуаций оно ведёт себя как гауссово распределение. Усечённые распределения Леви описывают «субдиффузию», замедленную по сравнению с классическим движением (частице при усечённых блужданиях Леви требуется больше времени для достижения возросшего критического значения, чем в случае классической диффузии).При субдиффузии наличие ловушек приводит к расходимости среднего времени ожидания скачков, благодаря чему последние приобретают дискретный характер в пространстве и происходит замедление процесса переноса (а>2). Его убыстрение в процессе супердиффузии связано с тем, что частица в дискретные моменты времени совершает скачки произвольной длины, характеризуемые расходящимся среднеквадратичным смещением<�г²>-«оо.

Для описания процессов аномальной диффузии предложено несколько подходов, использующих переменные коэффициенты диффузии, корреляции дробного порядка, дробные лапласианы, скачкообразные блуждания, обобщения уравнений Ланжевена, Фоккера—Планка и др. Наилучшие результаты дали уравнения дробных производных.