Ограничения линейной упругой механики разрушения

Уравнения ЛУМР, являясь приближенными, имеют верхний и нижний пределы применимости. Это связано с тем, что решения с использованием КИН приводят к сингулярности напряжения у вершины трещины при r = 0, и хотя они могут давать достаточно хорошую оценку величины пластической зоны, они не применимы для описания поля деформации внутри пластической зоны и, следовательно, не пригодны для описания процесса вязкого разрушения внутри пластической зоны. Пределы применимости модели интенсивности упругих напряжений становятся очевидными при высоком уровне напряжений. Тогда К-решения фактически уже не описывают действительного поля напряжений, и, следовательно, истинных размеров пластической зоны. Это может привести к неоправданно консервативным результатам расчетов, так как перераспределение напряжений в результате пластического течения и притупления вершины трещины, связанного с ним, делают допустимыми более высокие эксплуатационные нагрузки, особенно для высокопластичных материалов.

Принято, что ЛУМР может быть использована при соблюдении условий rp a/50, W/50, B/50, где W, B — ширина и толщина пластины. При этом напряжения не должны превосходить т/5. В конечном итоге испытания на основе методов ЛУМР и применение концепции КIc для материалов с высокой вязкостью и пластичностью (хрупкому разрушению предшествует развитие большой пластической зоны у вершины трещины) требуют весьма крупных образцов, в которых трещины и их пластические зоны не зависят от границ образца и достигается плоское деформированное состояние, т. е. выполняется условие B 2.5(K/т)2.

Также недоступна для описания аппаратом ЛУМР трещина, возникшая у дна надреза, т. е. находящаяся в пластической зоне. Здесь справедливо условие rp > a, и, очевидно, ЛУМР не может быть применена в такой ситуации.

За пределами указанных ограничений применение ЛУМР дает ошибку, возрастающую с ростом отношения размера пластической области к размеру упругой области. До какого момента можно допускать существование указанной ошибки? Ответ на этот вопрос зависит от тех требований, которые приняты при проектировании.

В случае разрушения хрупких материалов в ЛУМР вводят соответствующую поправку на пластичность, что позволяет уменьшить эту ошибку.

В заключение отметим, что нижний предел размеров любой трещины, которая поддается описанию на основе законов механики сплошной среды, можно найти, введя понятие размера минимальной пластической зоны, например, субъячейки, т. е. 10 мкм, что дает минимальную длину трещины 0.5 мм. При меньших размерах ЛУМР становится неприменимой, и трещины длиной менее 0.5 мм рассматриваются как короткие.

Оценка коэффициента интенсивности напряжений Аналитические методы В настоящее время аналитическими методами теории упругости решено большое количество задач для различных конфигураций твердого тела, трещины и условий нагружения.

Плоские статические задачи. В задачах о плоской деформации и плоском напряженном состоянии КИН определяются по асимптотике комплексного потенциала Ф (z) в конце разреза.

Разрезы вдоль одной и той же прямой или вдоль одной и той же окружности в бесконечной упругой плоскости. Если совокупность математических разрезов расположена вдоль одной и той же прямой или вдоль одной и той же окружности и других границ упругое тело не имеет, то могут быть решены следующие краевые задачи:

• а) на разрезах произвольно задана нормальная и касательная нагрузка;
• б) на разрезах заданы произвольные смещения;
• в) на одном берегу разрезов задаются смещения, а на другом берегу — нагрузки;
• г) участки с произвольно заданными смещениями или нагрузками чередуются любым образом вдоль нижнего и верхнего берегов разрезов;
• д) берега разрезов взаимодействуют, причем касательное напряжение взаимодействия произвольным образом зависит от нормального давления;
• е) касательное напряжение на разрезах обращается в нуль, участки с произвольно заданным нормальным смещением или с нормальной нагрузкой расположены произвольно на берегах разрезов.

Для указанных типов задач можно найти КИН; некоторые случаи рассмотрены ниже.

Если в упругой плоскости имеется один прямолинейный разрез и сосредоточенные сила и момент приложены симметрично к верхнему и нижнему берегам щели (рис. 47), то.

.

Для распределенных на некотором участке верхнего берега щели нагрузок (рис. 48) имеем.

Рис. 47 Рис. 48 Рис. 49

.

В случае, изображенном на рис. 49, имеем.

.

Рис. 50 Рис. 51 Рис. 52

Для примера на рис. 50 на правом и левом конце соответственно.

.

Для щели, располагающейся вдоль длины окружности (рис. 51), КИН в наиболее опасной точке О имеют вид.

.

В случае перешейка между двумя полубесконечными щелями имеют место следующие формулы.

— у левого конца перешейка.

— у правого конца перешейка.

Разрез в полуплоскости. Задача о растяжении упругой полуплоскости с краевой щелью (рис. 53) рассматривалась многими авторами. Ее решение получено многими способами — как точными аналитическими методами, так и приближенными:

.

Коэффициент 1.12 вычислен с погрешностью 1%. Как видно, влияние свободной границы тела приводит к увеличению КИН на 12%.

Для задачи на рис. 54.

.

Коэффициент 0.68 вычислен с ошибкой 3%.

В случае полубесконечного разреза, приближающегося к свободному краю полуплоскости (рис. 55) КИН равен.

.

Рис. 53 Рис. 54 Рис. 55

Разрезы, исходящие из круглого отверстия. Решена задача о всестороннем и одностороннем растяжении плоскости с одной и двумя щелями, исходящими из кругового отверстия (рис. 56).

Рис. 56 Рис. 57 Рис. 58

Имеем.

.

Решена задача о всестороннем растяжении плоскости со звездообразной щелью (рис. 57). Окончательный результат имеет вид.

.

где (т) — коэффициент, зависящий от числа разрезов n.

Для круглого диска с внутренней щелью, раздавливаемого двумя сосредоточенными силами (рис. 58),.

.

Рис. 59.

Тела сложной формы. Изучены многие случаи различных криволинейных отверстий со щелями. В случае всестороннего растяжения упругой плоскости с гипоциклоидальным отверстием, контур которого описывается уравнениями.

.

где n — целое положительное число, КИН равен.

.

Гипоциклоида имеет n+1 точку возврата, каждая из которых с точки зрения концентрации напряжений эквивалентна концу трещины (на рис. 59 изображена астроида с n=3).

Пространственные задачи. В силу сложности решения пространственных задач готовых решений накоплено значительно меньше, чем для плоского случая. Приведем окончательные результаты вычисления КИН в пространственных задачах.

Дискообразная щель. В общем осесимметричном случае дискообразного разреза вдоль z=0, x2+y2.

Рис. 60.

Здесь предполагается, что нагрузки симметрично приложены к верхнему и нижнему берегам щели, а на бесконечности напряжения исчезают.

При чистом изгибе стержня с дискообразной щелью (рис. 61) КИН будет следующим.

.

Здесь Jy — соответствующий момент инерции поперечного сечения стержня, b — расстояние центра щели от нейтральной линии.

Рис. 61 Рис. 62

При скручивании круглого цилиндрического стержня с дискообразной щелью (рис. 62) имеем (здесь предполагается, что центр щели лежит на оси стержня, а плоскость щели перпендикулярна этой оси).

.

Итак, имеется большое количество решенных аналитическим способом задач по определению КИН для тел с трещинами различной конфигурации, но все же число этих задач ограничено.