Язык логических и математических знаков

Высказывания и предикаты

Высказыванием называется повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл однозначно говорить, истинно оно или ложно.

Приведем примеры. «Вес рыбы умеют плавать», «От перестановки мест слагаемых сумма чисел не изменится» — истинные высказывания. «Каждый год содержит 365 дней» — ложное высказывание. Ясно, что вопросительные, восклицательные, повелительные предложения высказываниями не являются. Например, «Который час?», «Найдите сумму чисел 10 и 15» или «Ребята, давайте жить дружно!». Эти предложения несут другую смысловую нагрузку и логикой не анализируются.

Предложение «2014;й десятичный знак после запятой числа — равен.

1″ также является высказыванием, хотя кому-то будет сложно установить (по крайней мере, сразу), истинно оно или ложно. Имеем задачу: найти 2014;ый знак после запятой у данного числа. Тем не менее уровень наших знаний и умение решать задачи не влияют на истинность высказывания. Если кто-то плохо знает историю, то ему будет сложно определить истинность высказывания о том, что Вторая мировая война началась в 1939 г. Иногда одно и то же предложение можно но-разному интерпретировать, например в зависимости от контекста. Скажем, фраза «Число 3 красное» в обычном понимании не имеет смысла, однако если ученику начальных классов показали число 3, записанное на карточке красным цветом, то в этом смысле фраза является верной. В дальнейшем мы не будем останавливаться на подобных нюансах, так как это никак нс влияет на понимание основ логики, которая, как было замечено ранее, интересуется способами конструкции предложений, не вдаваясь в содержание.

Рассмотрим теперь такое предложение: «Ученик является отличником», понимая под отличником того, кто в данный момент времени имеет в дневнике только пятерки. Само по себе это предложение высказыванием не является, так как нельзя определить его истинность или ложность. Если иметь в виду какого-то определенного ученика, то тогда можно будет говорить о том, верно это предложение или нет. Таким образом, данное предложение легко превратить в высказывание, указав ученика, о котором говорится в предложении. В логике подобные предложения называются высказыватсльными формами, или предикатами.

В обычном смысле термин «предикат» происходит от английского термина predicate, что в переводе на русский язык означает сказуемое (это то, о чем говорится в предложении). Поэтому в общем случае под предикатом понимают предложение, в котором утверждается, что неизвестный объект обладает каким-то свойством. В приведенном примере говорится о свойстве «быть отличником». Неизвестный объект обозначают буквой, которую называют переменной. Рассмотренное выше предложение можно сформулировать так: «Ученик .v является отличником». Если вместо переменной х подставить имя конкретного объекта (в нашем случае, — имя ученика), то получим высказывание. Заметим, что в обыденной речи при формулировке предложений переменная х нс произносится, а просто подразумевается. Конечно, в предложении может присутствовать не одна, а две, три или большее число переменных. Дадим определение.

Предикатом называется предложение, которое содержит одну или несколько переменных и превращается в высказывание, если переменным придать конкретные значения, то есть имена допустимых объектов. Если переменная одна, то предикат называется одноместным, или свойством, если две — двуместным. В общем случае, если имеем п переменных, то предикат пазы вастся п-местным.

Кратко одноместный предикат обозначается в виде А (х). Заглавная буква используется для обозначения самого предложения, а малая буква обозначает объект или предмет, о котором говорится в предложении. Двуместный предикат обозначают А (ху), трехместный — В (х, у^) и т. д. Когда нет необходимости, предикат обозначают одной заглавной буквой, без указания переменных, от которых этот предикат зависит. Очень часто для обозначений пользуются определенными буквами того или иного алфавита (например, переменные, от которых зависит предикат, обозначают х, у, z, …), однако это не существенно, а просто удобно. Для обозначений можно использовать любые буквы, иногда с индексами, штрихами, например tfi, яг, Ь с и т. п.

Примеры одноместных предикатов.

• 1) А (х) = «х — целое число». Здесь знак равенства имеет следующий смысл: справа от него записано предложение, а слева — обозначение этого предложения. Допустимый объект, который можно подставить вместо х, — произвольное число. Если вместо х подставить число (-3), получим истинное высказывание, если взять число 3,5, то будем иметь ложное утверждение. Кратко это записывается так: А (-3) = и, А (3,5)=, 7. Буквы и и л обозначают значения истины и лжи соответственно.
• 2) В (х) = «Фигура х — это треугольник». Чтобы предложение имело смысл, вместо х можно подставлять любую фигуру на плоскости или в пространстве.
• 3) С (х) = «х — студент ВятГГУ». Здесь под переменной х понимается любой человек. Также можно сузить область допустимых объектов и понимать подх произвольного студента вуза.

Таким образом, какие объекты считаются допустимыми, а какие нет, зависит от контекста либо отдельным образом оговаривается.

Примеры двуместных предикатов.

• 1) А (ху) = «х является отцом у». Допустимые объекты — люди.
• 2) В (ху) = «Треугольник х подобен треугольнику у». Допустимые объекты — треугольники.
• 3) С (ху) = «Сумма чисел х и у положительна». Вместо переменных х и у можно подставлять произвольные числа.

Примеры трехместных предикатов.

• 1) А (ху?) = «Точка х лежит между точками у и г». Здесь переменные обозначают точки, лежащие на какой-то одной прямой.
• 2) B (u, U2, Ui) = «Сумма функций и и и₂ равна функции иу». Переменные

U|, 1/₂ И Uy ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ДЛЯ Обозначения фуНКЦИЙ. НаПрИМСр, ВЗЯВ ВМССТО М].

функцию у = х², вместо и₂ функцию у = 2дг+1, а вместо иу функцию у = (х+1)², получим истинное высказывание.

В последнем примере мы сталкиваемся с определенной сложностью психологического характера. Кому-то может показаться, что необычно обозначать функцию одной переменной //, ведь привычным образом функция обозначается как у =/(х). Однако последняя запись — это один из способов записать функцию в общем виде, подчеркивающий, что х является независимой переменной, то есть аргументом функции, а у — это зависимая переменная, то есть значение функции. Сама же функция имеет обозначение / Вместо буквы/можно использовать, вообще говоря, любую букву.

Сделаем еще один вывод из рассмотренных примеров. В записи А (х) буква А обозначает предложение, а буква х обозначает переменную. При этом, как мы видели, за х может скрываться имя не только числа, которое в математике принято обозначать малыми буквами. Переменная х может обозначать треугольник, точку, функцию или любой другой объект, возможно, нематематической природы. Поэтому, несмотря на то что треугольник, например, принято обозначать заглавными буквами АВС, в рассмотренном выше примере треугольник обозначен малой буквой. Запись АВС подчеркивает, что рассматривается треугольник с вершинами А, В, С. Аналогично, точки на плоскости принято обозначать заглавными буквами А, В, М, N, Р и т. д., однако это не мешает нам обозначить произвольную точку переменной д, или а, или а.

Итак, логику интересуют только предложения, которые имеют два значения: истины или лжи. Договоримся в дальнейшем под термином «предложение» (синоним «утверждение») понимать именно такое предложение, то есть высказывание или предикат, обозначая его заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, С₂, Л Q, … Заметим, что высказывание можно считать частным случаем предиката, значение истинности которого не зависит ни от одной переменной. Поэтому в логике говорят, что высказывание — это нульместный предикат.

Введем важное понятие равносильных предложений, аналогичное понятию равенства числовых выражений. Два предложения А и В называются равносильными {логически равными), если они всегда принимают одинаковые истинностные значения.

Равносильность предложений, как правило, обозначается знаком. Наряду с этим знаком используют другие, например знак волны ~ или Расшифруем определение для случаев, когда мы имеем высказывания или предикаты.

Два высказывания будут равносильными, если они оба одновременно истинны или одновременно ложны.

Пример 1.1.1. Высказывание А = «Число 3 четное» равносильно высказыванию В = «Разность чисел 2 и 3 есть натуральное число», так как оба предложения ложны. Символически А В. •.

Пусть предложения зависят от переменных. В этом случае предложения считаются равносильными, если они принимают одинаковые истинностные значения при любой подстановке вместо переменных допустимых значений.

Пример 1.1.2. Предложение «Треугольник х подобен треугольнику >>» равносильно предложению «Треугольник у подобен треугольнику л:», гак как какие бы два треугольника мы ни взяли, истинность одного из предложений влечет истинность другого предложения (что вытекает из определения подобия треугольников), то есть эти предложения не могут принимать разные значения.

А вот предикат «Числовые функции / и g равны» не равносилен предикату «Производные функций/и g равны». Например, если мы возьмем в качестве / функцию ух², а вместо g — функцию у — х²+2, то первое предложение будет ложным, а второе — истинным. •.