Теорема Дирихле. 
Правильные конечные цепные дроби

Выше мы нашли оценку погрешности, возникающей при замене любого действительного числа рациональными дробями определенного типа, а именно: подходящими дробями.

А сейчас рассмотрим некоторые сравнительно простые результаты, показывающие как обстоит дело с приближением действительных чисел рациональными числами, не предрешая заранее, что эти рациональные числа будут подходящими дробями.

Пусть — произвольное действительное число. Из теории десятичных дробей следует существование рационального числа такого, что. поставим вопрос о возможности таких приближений рациональными числами, при которых точность приближения будет оценена не величиной, а величиной, в раз меньшей, то есть вопрос о нахождении рациональных чисел таких, что, где — любое заранее положительное число.

Например, можно поставить задачу нахождения такого рационального приближения к, чтобы точность приближения была в 1000 или в 1 000 000 раз лучшей, чем величина, обратная знаменателю. Это соответствует выбору =1000 или =1 000 000. оказывается, что как бы велико ни было, можно найти рациональную дробь, приближающую с точностью до, причем и это является самым интересным, дробь мы можем выбрать так, что .

Теорема Дирихле: Пусть и — действительные числа; существует несократимая дробь, для которой, (или: существует такая пара взаимно простых целых чисел a и b, что ,).

Доказательство: Теорему легко доказать с помощью аппарата цепных дробей.

Пусть подходящая дробь числа; выберем наибольший из знаменателей, не превышающий, то есть наибольшее k, чтобы и положим.

=.

не является последним знаменателем, то есть существует такое, что <. Тогда при a= и b= имеем:

2) — знаменатель последней подходящей дроби разложения Тогда при a=, b=, имеем:

.

Теорема доказана.

Сам Дирихле дал другое доказательство, использовав в нем принцип, который носит теперь имя Дирихле: при распределении N объектов между N-1 ящиками хотя бы в одном ящике должно находиться 2 объекта. Приведем это доказательство.

Пусть, рассмотрим совокупность t+2 чисел, состоящую из 1 и значений дробных частей для x=0, 1, …, t (причем =-,). Очевидно, каждое из чисел этой совокупности принадлежит точно одному из t+1 промежутков, , …,, из которых первые t являются полусегментами, а последний сегментом.

Так как чисел у нас t+2, то (согласно принципу Дирихле) обязательно найдется такой промежуток, который содержит 2 числа из совокупности и 1. Разность этих двух чисел не превосходит длину содержащего их промежутка, то есть .

1. Если такими числами являются и, то.

Пусть и,. Так как, то.

.

2. Если и 1 принадлежат одному промежутку, то.

Пусть в таком случае,. Очевидно, и здесь, так что ,).

Теорема доказана.