Закон Фика для диффузии нейтронов

В теории диффузии часто рассматривается простой случай — диффузия моноэнергетических нейтронов, т. е. предполагается, что при столкновениях с ядрами нейтроны не изменяют своей энергии, что выполняется только для тепловой области, в которой энергия нейтронов в среднем не меняется, и лишь в отдельных столкновениях может или увеличиваться, или уменьшаться, причём вероятность её возможных значений определяется распределением Максвелла.

Из близости свойств нейтронного и идеального газов следует, что описание интенсивности направленного переноса тепловых нейтронов в среде должно подчиняться закону газовой диффузии Фика. Разница в представлениях о газовой и нейтронной диффузии состоит в том, что: при газовой диффузии молекулы сталкиваются и обмениваются кинетическими энергиями между собой непосредственно, а обмен кинетическими энергиями между тепловыми нейтронами происходит не в непосредственных столкновениях, а опосредствованно, то есть через посредство ядер среды, которые рассеивают их в процессе диффузии; при газовой диффузии газовые молекулы не исчезают, а при диффузии тепловых нейтронов в реальных средах происходит непрерывное их поглощение.

Применительно к диффузии тепловых нейтронов закон Фика записывают в виде:

Здесь предполагается, что в среде нет источников нейтронов, J® вектор плотности тока диффузии тепловых нейтронов в точке среды с координатами г (величина вектора./ определяет интенсивность направленного перемещения нейтронов через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно направлению этого вектора, за единиц}' времени, а сам вектор указывает направление их переноса); Vn® — оператор Гамильтона функции п (г) распределения плотности тепловых нейтронов по координатам, т. е. градиент функции п в точке с координатами г. Градиент — тоже вектор, но его направление — направление возрастания плотности нейтронов; оно противоположно направлению вектора J, поэтому в правой части Ур.1 и стоит знак минус. Математически градиент представляет собой сумму частных производных функции плотности нейтронов по координатам:

gradn® = — + — + — так что в частном случае линейной диффузии, dx dy dz

когда плотность нейтронов изменяется только вдоль одной координатной оси, величина градиента плотности нейтронов вырождается в обычную первую производную функции плотности по этой координате. D* - коэффициент пропорциональности (коэффициент диффузии). Так как вектор плотности тока J имеет скалярную размерность иейтр/см²с, а градиент плотности нейтронов-нейтр/см4, то размерность коэффициента диффузии D см²/с.

Уравнение диффузии нейтронов формулируется на двух законах: законе Фика и уравнении непрерывности. В трёхмерном случае дифференциальное уравнение записывается в виде:

J = —Dgrad (p = -DV ф

где V — оператор градиента у/(л, у z) =—x+—y+—z' гр^аД^иеит скаляра.

дх ду dz

есть вектор, компоненты которого равны скоростям изменения / вдоль осей компонентов.

Здесь J — вектор диффузионного потока. Оператор градиента превращает поток нейтронов (скалярная величина) в ток нейтронов (векторная величина).

Уравнениев форме закона Фика устанавливает связь между потоком (ф) и током (J) нейтронов.

R гттлатяр плномепной диффузии.

J_x - плотность потока нейтронов нейтрон I, чистый (нетто) поток.

см² с J.

нейтронов, проходящий в единицу времени через единичную площадь, перпендикулярную направлению х, ф — поток нейтронов, пересекающих некоторое произвольное поперечное сечение единичной площади во всех направлениях в единицу времени; размерность нейтрон, Г) — коэффициент.

см² с

диффузии, размерность которого [см] (в СИ — метр).

Рис. 3. Конечный и частные токи нейтронов.

Таким образом, поток нейтронов ф и ток J связаны простым соотношением, по форме аналогичным закону Фика.

Коэффициент диффузии р _ jL_, Is — не зависит от координаты; ф (г) — медленно изменяющаяся.

32, функция.

Замечание 1. Уравнение диффузии нейтронов базируется на i-ом законе Фика, согласно которому растворенное вещество диффундирует из зоны с высокой концентрацией в зону с низкой. Однако в данном случае следует различать понятие поток нейтронов и понятие плотность тока нейтрона: ф — поток нейтронов, является скаляром; в то время как ток — вектор. Ток нейтронов используется для характеристики распределения нейтронов в реакторе; это основной результат решения уравнения диффузии. Поток нейтронов, ф, не есть ток нейтронов: даже если потоки полностью отсутствует, происходят многочисленные взаимодействия. Нейтроны бродят в случайных направлениях, а не движутся целенаправленно. Поэтому поток нейтронов ф — аналог плотности нейтронов. Нейтроны будут участвовать в полном токе, когда имеются пространственные различия в их плотности. Здесь имеет место поток потока нейтронов! Этот поток нейтронного потока называется плотностью тока нейтронов. Итак, в случае описания диффузии нейтронов в ядерном реакторе в уравнение i-го закона Фика входит не градиент концентрации, а градиент потока нейтронов, и коэффициент диффузии выражается не в см²/с, а в сантиметрах! Замечание 2. При использовании закона Фика предполагается, что среда бесконечна. Для конечной среды этот закон справедлив, только для координат, отстоящих от границ системы по крайней мере на несколько длин свободного пробега нейтрона. Кроме того, что основной вклад в ток нейтронов вносят нейтроны, рассеянные при столкновениях. Возможно присутствие в среде источников нейтронов, однако, в источнике закон Фика не действует: для его справедливости от источника надо отойти по крайней мере на несколько длин пробегов. Закон Фика предполагает обеспечение изотропного рассеяния нейтронов в системе. Однако часто это не соблюдается. Впрочем, при умеренной анизотропии этот закон ещё применим.

Согласно статистической теории процессов переноса нейтронов:

где макроскопическое транспортное поперечное сечение _ _L ₌ х (1 — /7) >

при наличии процессов поглощения нейтронов.

И_1Г = + ЕД1 — /7) = ?, — E_v/7,1^- общее макроскопическое поперечное сечение; ?" - макроскопическое поперечное сечение поглощения; Х*_г — макроскопическое транспортное поперечное сечение; /7_o=cos0- среднее значение косинуса угла в лабораторной системе координат в рассеивающей среде.

Для большинства энергий нейтронов.

где Л — массовый номер ядра мишени.

Коэффициент диффузии можно представить в виде ряда:

Если E_a«Ztr то это выражение упрощается до.

где L_tr — транспортный свободный путь, т. е. среднее расстояние, на которое нейтрон переместится из его первоначального направления после бесконечного числа соударений рассеяния.

Это уравнение учитывает рассеяние нейтронов на тяжёлых ядрах. При слабом поглощении нейтронов.

Рис. 4. Последовательные траектории блуждания нейтронов.

Применительно к диффузии нейтронов в ядерном реакторе закон Фика выводится при следующих предположениях:

• 1. Бесконечная среда. Это предположение необходимо для возможности интегрирования по всему пространству; вклад потока пренебрежимо мал на расстояниях больших нескольких свободных пробегов (не менее трёх пробега) от границ диффузионной среды.
• 2. Источники или стоки. Вывод закона Фика предполагает, что основной вклад в поток нейтронов вносят реакции упругого рассеяния. Источники нейтронов могут* располагаться как в пределах диффузионной среды, так и вне её. Если источники нейтронов присутствуют в среде, то они усчитываются при координатах, отстоящих от источника по крайней мере на з длины свободного пробега.
• 3. Однородная среда. Вывод закона Фика предполагает, что изучаемая среда однородна. Он применим для областей, отстоящих от границ раздела фаз на з длины пробега.
• 4. Изотропное рассеяние в лабораторной системе координат. Однородное рассеяние происходит при низких энергиях, но это не соответствует реальной ситуации. Наличие анизотропного рассеяния может быть скорректировано модификацией коэффициента диффузии.
• 5. Слабо поглощающая среда. Вывод закона Фика предполагает (разложение в ряд Тейлора), что диффузионный поток ф медленно изменяется при перемещении от одной координаты к другой. Большие изменения происходят в ф, когда ?<, (поглощение нейтронов) велико (по сравнению с ?_s). Za"?,).
• 6. Поток нейтронов не зависит от времени. Это возможно, если изменение ф мало по сравнению со временем, затраченным на преодоление нейтроном нескольких свободных путей. Если медленные нейтроны в реакторе имеют скорость юз см/с, то на преодоление трёх средних свободных путей требуется время _Ф_ _>>, ,.

с1ф у ¹

dt

В случае реакторных нейтронов закон Фика носит приближённый характер: он неприменим, если среда сильно поглощает нейтроны, и если рассеяние нейтронов существенно анизотропно.

Перейдём теперь к описанию диффузионных процессов в ядерном реакторе.

В произвольном объёме V диффузионная среда содержит нейтроны, число которых может изменяться. Изменение числа нейтронов — результат полных потоков нейтронов, направленных внутрь или из этого объёма; некоторые нейтроны поглощаются внутри У; в объёме возможно существование источников нейтронов. Эти обстоятельства учитываются уравнением непрерывности.

При создании математического аппарата диффузионных процессов в реакторе учитывают, что скорость изменения во времени количества нейтронов в объёме V определяется их поглощением и утечкой (при пренебрежении pраспадом нейтронов). Скорость изменения числа нейтронов в объёме V равна скорости производства нейтроновУминус скорость поглощения нейтронов в V минус скорость утечки нейтронов из V.

Компонентами, участвующими в балансе нейтронов, являются:

— скорость изменения числа нейтронов;

скорость производства нейтронов;

• — скорость поглощения нейтронов;
• — скорость утечки нейтронов.

Здесь п — плотность нейтронов; s — скорость испускания нейтронов источниками в расчёте на смз, ф — скалярный поток нейтронов; Х_я — макроскопическое поперечное сечение поглощения. Если п не зависит от времени (стационарное состояние), то.

S — Е_аф — divJ = О где J — вектор плотности тока нейтронов Уравнение непрерывности.

С использованием уравнения баланса нейтронов и i-го закона Фика получим

с учётом V. V=V²=A (следовательно, divJ=-Ddiv (V§)=-DA§), в предположении независимости D и 1_аот координаты и времени (гомогенная система) получим уравнение диффузии.

Уравнение непрерывности может быть упрощено введением символа V²=divgrad, (оператор Лапласа, задаваемый.

Тигля

В стационарном состоянии (поток не зависит от времени)

площадь Разделим на D VV ^- —+ — = 0. Определим L² = —

D D ?

диффузии [см²], L — длина диффузии в метрах;это мера среднего расстояния, преодолённого нейтроном до поглощения. Она определяется геометрией и физическими свойствами активной зоны ядерного реактора.

Замечание. Расстояние L²=D/Х_а не следует путать со средним расстоянием, пройденным нейтроном. Среднее расстояние, равное средней длине свободного пробега до поглощения L_a=i/ta. намного больше расстояния измеренного по прямой. Это связано с тем, что нейтроны в среде испытывают много столкновений, и они перемещаются через среду по очень зигзагообразному пути.

Если плотность нейтронов и их поток не зависит от координаты, то divJ= о и.

которое описывает зависимость от времени потока.

Для решения этого уравнения требуется задать геометрию системы, начальныеи граничные условия, а также функцию источника. В качестве граничных условий задают либо ф, либо производную 5ф/дп, либо их некоторую комбинацию (ф и её производная не могут быть заданы независимо друг от друга). Однако, часто такие граничные условия не отражают реальную ситуацию.

Закон Фика не применим вблизи внешней поверхности, отделяющей диффузионную сред уот атмосферы (поскольку длина свободного пробега нейтрона в воздухе значительно больше, чем в реакторе, то при расчёте реакторов атмосфера рассматривается как вакуум). Было обнаружено, что если поток считать исчезающим на расстоянии d от поверхности, то поток, рассчитанный из диффузионной теории близок к реальному. ПараБолее детальный анализ даёт более сложные выражения, особенно, если граница имеет заметную кривизну. Для плоской геометрии d=o, 7i04L/_r.

метр d называют экстраполированным расстоянием. Коротко остановимся на способе оценки d.

Поток нейтронов, отражённый от вакуума обратно в активную зону реактора:

Граничные условия задаются с учётом исчезновения потока нейтронов на экстраполированном расстоянии от края реактора радиуса R, т. е. ф (Я+с/)=0.

Рис. 5. Экстраполированная ширина реактора.

В большинстве случаев экстраполированная длина задается простой формулой d=o, 7iLn-, где L_n— - средний свободный транспортный путь нейтрона в среде. Соотношение для коэффициента диффузии D=L_tr/3 Даёт c/=2,13D. Экстраполированное расстояние обычно составляет несколько сантиметров, поэтому им часто пренебрегают, считая, что поток нейтронов исчезает на границе среды. Если d нельзя пренебречь, то физические размеры реактора увеличиваются на d и размер системы R^=R+d.

Таким образом, при задании граничных условий для уравнения диффузии реакторных нейтронов требуется увеличить размер диффузионной среды на величину d.

Диффузионное уравнение неприменимо для координат, попадающих в расположение источника; необходимо совпадение величины потока нейтронов с интенсивностью источника. Источник окружен площадью, для которой требуется чтобы все нейтроны, летящие через эту площадь исходили из источника с эмиссионной способностью s. Используемые выражения зависят от геометрии источника:

Пространственное распределение потока нейтронов в бесконечной среде можно рассчитать используя диффузионное уравнение и граничные условия. В простейших ситуациях учитываются только моноэнергетические источники нейтронов (одногрупповая теория).

Коротко остановимся на результатах решения диффузионного уравнения для простых геометрий при упомянутых выше граничных условиях (стационарное состояние диффузии) при одногруппном приближении. Напомним, что в этом приближении предполагается, что все нейтроны принадлежат к одной энергетической группе, они генерируются в процессе деления источником и диффундируют с тепловой энергией 0,025 эВ. Будем считать, что источник нейтронов расположен в центре системы координат. Вне источника система однородна.

Точечный источник.

Начнём с простой задачи — диффузии нейтронов от точечного источника мощностью sb однородной среде при отсутствии захвата.

Рис. 6. Диффузия нейтронов из точечного источника.

Уравнение диффузии в сферических координатах Лапласиан.

Ур. l, 2 и з совместно дают решение проблемы.

Одногрупповое энегетическое приближение диффузии позволяет оценить величину потока тепловых нейтронов в однородной среде простой геометрии. В условиях реального реактора, для описания диффузионных процессов используют многогрупповой подход. В частности, в двухгрупповом подходе полагают, что нейтроны можно разбить на две энергетически различные группы: одна со средней энергией ^/(нейтроны умеренных энергий, выше 5 кТ) и Ет (тепловые нейтроны, 025 эВ).

Рис. ю.Диффузия нейтронов в цилиндрической геометрии.

Пусть точечный источник нейтронов испускает^{быстрых} нейтронов в секунду и находится в бесконечной однородной среде.

Диффузионное уравнение для быстрой группы нейтронов:

Поперечное сечения поглощения для быстрых нейтронов очень мало; знак -" означает возможность полного поглощения. Поскольку рассматриваются только две энергетические группы нейтронов, поэтому каждый рассеиваемый нейтрон из быстрой группы со временем достигает тепловой энергии —" = Е,. Уравнение записывается для пространства вне точечного источника нейтронов.

Диффузионное уравнение упрощается до.

Простейшая форма двухгрупповой модели:

Источник быстрых нейтронов реализует деление тяжёлых ядер быстрыми и тепловыми нейтронами, источник тепловых нейтронов испускает тепловые нейтроны, полученные замедлением быстрых. Эта модель используется для расчёта критического состояния реактора, поддерживающего управляемую цепную реакцию деления.