Математическая модель и параметры асинхронных машин

Влияние схемных и конструктивных признаков статорных и роторных обмоток на параметры и эксплуатационные свойства асинхронных машин обусловлено физическими явлениями при преобразовании в них энергии. Изучение физических явлений в электромеханических преобразователях энергии, к числу которых относят и электрические машины, осуществляют преимущественно методами математического моделирования.

При моделировании асинхронной машины предварительно изучают её идеализированный вариант, который характеризуется электрической и магнитной симметрией, равномерным воздушным зазором, отсутствием насыщения, распределением магнитодвижущей силы (МДС) в воздушном зазоре по гармоническому закону. Процессы в многополюсной асинхронной машине идентичны процессам в двухполюсной машине, поэтому моделирование осуществляют для числа пар полюсов p = 1 [2,3,5].

При математическом моделировании электрических машин электромагнитные величины представляют в виде обобщённых пространственных векторов. Синусоидальность распределения позволяет представить МДС и пропорциональные ей токи обобщённым пространственным вектором на плоскости, перпендикулярной оси ротора. Под обобщённым вектором понимают вектор, проекции которого на оси фазных обмоток в любой момент времени равны мгновенным значениям фазных величин, представляемых этим вектором.

Так, если ток в каждой фазной обмотке трёхфазной асинхронной машины представить вектором модуль которого равен мгновенному значению фазного тока, а направление совпадает с осью обмотки, и сложить эти векторы, то получим пространственный вектор тока (3/2)i. Его модуль будет в 3/2 раза больше модуля вектора тока i, проекции которого на оси фазных обмоток равны мгновенным значениям токов iа, iв, iс. Таким образом, для того, чтобы вектор, полученный сложением фазных векторов, соответствовал данному выше определению пространственного вектора, его необходимо умножить на 2/3. На комплексной плоскости обобщённый вектор тока.

i = j (ia + aib + a2ic).

Рисунок 1 — К определению обобщенного вектора тока Пропорциональные токам фазных обмоток определяется МДС:

где Fam, Fbm и Fcm — амплитуды МДС на оси фазных обмоток.

Обобщённый вектор МДС трёхфазной статорной обмотки.

F = Fmejщ, как и обобщённый вектор тока, вращается с угловой скоростью щ.

При смещении симметричных фазных обмоток на 1200 и учитывая, что.

Fam = - (Fbm + Fcm),.

МДС трёхфазной статорной обмотки В векторной форме МДС трёхфазной обмотки.

Со статорной фазной обмоткой фазы «а» сцепляются магнитные потоки, создаваемые током самой обмоткой и магнитные потоки, создаваемые токами других фазных обмоток. Часть магнитного потока, создаваемого фазной обмоткой и сцепляющиеся с ее витками, называется потоком рассеяния. Индуктивность, связывающая поток рассеяния обмотки с протекающим в ней током, называется индуктивностью рассеяния L1у. Другая часть магнитного потока, помимо витков самой обмотки охватывает также витки других обмоток и называется основным магнитным потоком. Индуктивность, определяющая потокосцепление с основным потоком называется основной индуктивностью lm.

При отсутствии токов в обмотках ротора потокосцепление статорной фазной обмотки «а» .

где Mab и Mac — взаимные индуктивности фазных статорных обмоток.

При двух одинаковых фазных обмотках, совпадении их осей и равенстве токов магнитный поток, создаваемый током второй обмотки и сцепляющийся с витками первой обмотки, будет идентичен потоку, создаваемому первой обмоткой и сцепляющейся с витками второй обмотки. При этих условиях картина магнитного поля будет одинаковой независимо от того, по какой из обмоток протекает ток, то есть основная индуктивность lm будет равна взаимной индуктивности М0. Смещение фазных обмоток на угол д вызовет изменение их взаимной индуктивности.

М = М0cosд = lmcosд.

Для симметричных трёхфазных токов.

ia + ib + ic = 0 или ib + ic = - ia,.

и учитывая, что.

дb = 2р/3 и дc = - 2р/3,.

выражение для потокосцепления фазной статорной обмотки «а» (аналогично и для потокосцеплений других фазных обмоток) можно представить в виде Индуктивность L1 включает индуктивность от потока рассеяния Lу1, индуктивность от части основного потока, созданного самой обмоткой lm, и индуктивность от части основного потока, созданной двумя другими обмотками lm/2. Таким образом, полная взаимная индуктивность М статорной обмотки от основного магнитного потока в 3/2 раза больше ее основной индуктивности lm (М = 1,5 lm).

Обобщённый вектор потокосцепления статора при сложении фазных проекций и при отсутствии токов ротора Наличие токов в обмотках ротора приводит к появлению дополнительных потокосцеплений. Если ось обмотки ротора фазы «а» смещена на угол г относительно оси обмотки статора фазы «а» (рис. 2), то взаимные индуктивности обмоток ротора и фазы «а» статора:

Маа = M0acosг;

Мbа = M0bcos (г + cos1200);

Мcа = M0ccos (г — 1200),.

где М0а, М0b, М0c — взаимные индуктивности при г = 0.

Рисунок 2 — Положение осей обмоток статора и ротора Взаимная индуктивность обмоток статора и ротора при совпадении их осей равна lm, и картина магнитного поля будет той же, что и при совпадении осей статорных обмоток. Поэтому:

М0а = М0b = М0c = М0 = lm;

Маа = lmcosг, Мbа = lmcos (г + 2р/3);

Мcа = lmcos (г — 2р/3).

Полное потокосцепление статорной обмотки фазы «а» при наличии токов ротора (и по аналогии для других фаз):

;

Вектор потокосцепления статора с ротором Общее потокосцепление статора и ротора, соответствующее режиму протекания токов по обмоткам статора и ротора:

Аналогичное выражение справедливо и для потокосцепления ротора. Для ротора угол г будет отрицательным, так как по отношению к статору этот угол отсчитывается в обратном направлении, Вектор тока статора записан в неподвижной системе координат бв, связанной со статором, а вектор тока ротора записан во вращающейся (смещенной на текущий угол г) системе координат xy, связанной с ротором. В записи с индексами систем координат или, если обе части умножить на е-jг, то Таким образом, форма записи уравнений обобщённых векторов потокосцеплений не зависит от выбора системы координат. В одинаковых системах координат выражения для потокосцепления имеют одинаковую форму и индексы систем в них можно опустить. Потокосцепления статора и ротора с учетом всех токов и независимо от выбранной системы координат запишутся в виде:

Согласно последним выражениям потокосцепления статора и ротора раскладываются на составляющие, обусловленные собственным током (ш11 и ш22) и током другой части двигателя (ш12 и ш21).

Векторную сумму токов статора и ротора образует результирующий ток — ток намагничивания iм, и потокосцепления статора и ротора можно представить через основной магнитный поток и через потоки рассеяния:

в виде:

Для фазных напряжений статорной обмотки справедливы выражения:

где R1 — активное сопротивление статорной обмотки.

Умножив второе уравнение на а, третье уравнение на а2, затем складывая все три уравнения и умножая их правую и левую части на 2/3.

получим в векторной форме Аналогичное выражение для ротора в системе координат xy.

Для перевода уравнения ротора в неподвижную систему координат бв умножим обе части уравнения ротора на ejи при текущем угле поворота системы координат и (рис. 3) и представим в производной вектор потокосцепления ротора в новой системе координат как Рисунок 3 — Вектор тока в разных системах координат После преобразований.

.

опуская индексы координатной системы, получим уравнение напряжения для ротора в неподвижной системе координат где.

щ2 = dи/dt.

— текущая угловая скорость ротора.

Переход от системы координат xy к системе координат бв привел к разложению ЭДС в уравнении ротора на две составляющие. Первая составляющая dш2/dt связана с изменением потокосцепления вследствие измерения во времени токов и называется ЭДС трансформации. Вторая составляющая щш2 связана с изменением потокосцепления вследствие вращения ротора и называется ЭДС вращения:

Эти же уравнения в виде комплексных амплитуд:

Производная от еjщt составляет jщеjщt и при замене оператора дифференцирования d/dt на jщ:

или, сокращая все части уравнений на еjщt:

Пометив со штрихом приведённые к статору ток и параметры короткозамкнутого ротора (U2 = 0), получаем:

Для двухполюсной машины.

щ1 = щ = 2рf,.

следовательно:

или:

Имея в виду, что.

• 1 — щ2/щ = s
• — скольжение ротора, получаем:

и математическую модель асинхронного двигателя имеет вид:

Математической модели отвечает электрическая схема замещения асинхронной машины (рис. 4, U = U1). По расположению параметров её называют Т образной схемой замещения.

Рисунок 4 — Т — образная схема замещения асинхронной ашины Без существенной погрешности ветвь намагничивания можно вынести на вход схемы замещения (рис. 5). Эту схему замещения по расположению параметров называют Г образной.

Рисунок 5 — Г — образная схема замещения асинхронной машины Для реальной m фазной асинхронной машины с wkоб эффективными витками на фазу статорной обмотки (kоб — обмоточный коэффициент) и w2kоб2 эффективными витками на фазу m2 = Z2 фазной роторной обмотки (Z2 — число пазов ротора, kоб2 обмотчный коэффициент) приведённые к статору ток и сопротивления ротора:

I2' = I2/ki; R2' = R2k; x2' = x2/k,.

где.

ki = mwkоб/m2w2kоб2.

— коэффициент приведения тока;

k = mw2/m2w22.

— коэффициент приведения сопротивлений.

Согласно схемам замещения ток ротора.

хк = х1 + х2'.

Электромагнитной мощности отвечает электромагнитный момент.

Приравнивая нулю производную находим критическое скольжение.

.

а по нему и максимальный электромагнитный момент:

где знак «+» относится к двигательному режиму работы асинхронной машины, а знак «-» — к генераторному режиму её работы (рис. 6).

Рисунок 6 — Зависимость Мэм = f (s) асинхронной машины В генераторном режиме работы асинхронной машины со скольжением s < 0 активная составляющая тока ротора меняет знак и тормозной момент генератора уравновешивает момент приводного двигателя.

Реактивная составляющая тока ротора не зависит от знака скольжения.

.

и асинхронный генератор, как и асинхронный двигатель, является потребителем реактивной мощности.

В автономных электростанциях источником реактивной мощности для асинхронного генератора служат конденсаторы. Процесс самовозбуждения генератора при наличии остаточного магнитного поля подобен физическому процессу в последовательном колебательном контуре из индуктивности L, конденсатора С и сопротивления R.

где qt и еt — заряд на обкладках конденсатора и ЭДС контура.

Установившееся значение ЭДС определяет пересечение характеристики намагничивания генератора с вольтамперной характеристикой конденсатора (рис. 7). Ток возбуждения генератора Iм = E/xм.

Рисунок 7 — К процессу самовозбуждения асинхронного генератора (s? 0).

В установившемся режиме работы балансу энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля асинхронного генератора отвечает частота электромагнитных колебаний.