Ограниченные на отрезке функции, множество точек разрыва которых имеет меру нуль по Жордану

Говорят, что интервал (х', х") покрывает точку х, если хе (х', х").

Числовое множество X называется множеством меры нуль по Жордану, если для любого числа? > 0 существует конечная система интервалов, покрывающих все точки множества X, причем сумма длин этих интервалов меньше ?.

Теорема 1.5. Пусть функция / определена и ограничена на отрезке [а, Ь]. Если множество точек разрыва / на [а, Ь] имеет меру нуль по Жордану, то функция/ интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. Пусть М= sup /(х), т= inf /(х). Если М = т, то.

а<�х<�Ь ^aixib

/(х) = М = т для любой точки х е [а, Ь], и функция/интегрируема на [а, Ь] (теорема 1.4).

Пусть М>т. Выберем произвольное число ?>0. Пусть (х (, х"), …, (х/,xj) — интервалы, покрывающие все точки разрыва функции/ f ?

на[a, b], причем У (х ('-хП <-(возможно, что х{ b). Обо;

k=i 2 (M-m).

значим 7 = [a, b] (J (х (, х?). Тогда 7 = Q 7_m, где 7_m c[a, b] — отрезки,.

V /с=1 ) Ш=1.

причем г <1 + 1. Так как функция/непрерывна на отрезке 1_т для любого т, 1<т<�г, то она равномерно непрерывна на 1_т. Значит, существует число 5_т >0, такое что для любых точек из отрезка 1_т, удовлет;

воряющих условию |^'-^" |<8_т, выполнено ]/(?,')-/(?,")]<--. Пусть.

Ъ-а

• 6= min 8_m, Т" — разбиение отрезка 7″, Д_т <8. Тогда Т = М Т_т — раз-
• 1<�ш<�г ^т _Ш=1

биение отрезка [а, Ь]. Пусть Г = {х₀;х!;…;х_п} (перенумеровали точки разбиения Т). Тогда для разности верхней и нижней сумм Дарбу, соответствующих разбиению Т, справедливы следующие соотношения:

> т). Это означает, что функция / интегрируема на отрезке [а, Ь]. Теорема доказана.

Следствие 1. Если функция / ограничена на отрезке [a, b] и имеет на нем конечное число точек разрыва, то она интегрируема на [а, Ь].

Следствие 2. Если функции /и g отличаются друг от друга только в конечном числе точек, то они одновременно интегрируемы или нет в смысле Римана на [a, b], и если интегрируемы, то.

Итак, ограниченные функции, имеющие конечное число точек разрыва на некотором отрезке, всегда интегрируемы на этом отрезке. Более того, можно привести пример функции, имеющей бесконечное число точек разрыва, которые, однако, удается покрыть конечным числом интервалов сколь угодно малой суммарной длины (см., например, задачу 1.14). Согласно теореме 1.5 такие функции также интегрируемы на конечном отрезке (в более общем виде утверждение сформулировано в задаче 1.42).

Возникает вопрос: как «много» точек разрыва может иметь ограниченная функция, чтобы быть интегрируемой?

Окончательный ответ на этот вопрос дает теорема 1.6 далее.