Сетевое планирование. 
Анализ финансово-хозяйственной деятельности

В экономике особую сложность представляет собой планирование и создание новых систем (освоение производства новых видов продукции), периодически повторяющихся разработок (ежегодное составление плана). Во всех этих случаях выполняется огромное количество операций, в работу вовлекаются множество людей.

В планировании и управлении весьма успешными разработками оказались сетевые методы, основу которых составляет сетевой график — наглядное отображение плана работ (рис. 2.1). Главными элементами сетевого графика являются события и работы. Собьтие — это состояние или момент достижения промежуточной или конечной цели разработки. Начальное событие — отправной момент разработки. Событие не имеет протяженности во времени. Работа — это протяженный во времени процесс, необходимый для совершения событий. Каждая работа имеет предшествующее событие и определенным событием завершается. События обозначают кружочками, работу — стрелками. В сетевых графиках время «течет» слева направо. Первое событие помещают в левой части графика; последнее — в правой, разместив между ними промежуточные события в порядке, соответствующем их номерам.

Рис. 2.1. Простейший сетевой график.

События связываются работами — стрелками. После составления графика необходимо проверить его соответствие некоторым обязательным требованиям.

• 1. Только начальные события не имеют входящих стрелок, только конечные — выходящих. Промежуточные события имеют входящие и выходящие стрелки.
• 2. Каждая работа должна иметь предшествующее и завершающее события.
• 3. На графике не должно быть изолированных участков, не связанных работами с остальной частью графика.
• 4. На графике не должно быть контуров и петель (рис. 2.2), так как они означают, что условием начала некоторой работы является ее окончание. При возникновении контура, (а в сложных сетях это случается довольно часто) необходимо вернуться к исходным данным и путем пересмотра состава добиться его устранения.

Рис. 2.2. Контур и петля

• 5. Любые два события должны быть непосредственно связаны нс более чем одной работой.
• 5.1. При обнаружении на графике параллельных работ (рис. 2.3) вводятся фиктивное событие Т и фиктивная работа (пунктирная стрелка), и одна из параллельных работ замыкается на это фиктивное событие (рис. 2.4).

Рис. 23. Параллельные работы

5.2. Фиктивные работы вводятся также в случае, когда отражаются зависимые события. Например, работы а и b могут выполняться независимо друг от друга, но требуют одно и то же оборудование, и работа b не может начаться, пока не освободится оборудование после окончания работы а. Это обстоятельство требует введения фиктивной работы с (рис. 2.5).

Рис. 2.4. Фиктивное событие и фиктивная работа.

Рис. 2.5.

Введение

фиктивной работы при зависимости событий

5.3. Еще один случай — неполная зависимость, например, работа с требует для своего начала завершения работ а и /?, но работа d связана только с работой 6, а от работы а не зависит. Тогда требуется введение фиктивной работы х и фиктивного события 3' (рис. 2.6).

Рис. 2.6.

Введение

фиктивной работы и фиктивного события при неполной зависимости событий

Во всех трех рассмотренных случаях фиктивные работы не имеют протяженности во времени, однако без их введения анализ сетевых графиков может давать неправильные результаты.

5.4. Случаи введения фиктивных работ — это отражение реальных отсрочек и ожиданий. В ряде технологических процессов требуется, например, естественное дозревание, брожение, затвердевание и т.и., когда реальная работа не производится, но следующий этап работы до определенного момента начаться не может. В подобных случаях в сетевом графике вводятся фиктивные работы, которые имеют протяженность во времени.

Построим график, имеющий 10 событий и 16 работ, соединяющих эти события (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Начальный сетевой график.

После построения графика следует этап его упорядочивания, которое заключается в таком расположении событий и работ, при котором все работы — стрелки направлены только слева направо. Упорядочение происходит по принципу «слоеного пирога».

Поместим в первый слой начальное событие 1, мысленно вычеркнем на графике его и выходящие из него стрелки. Тогда без входящих стрелок останутся события 2 и 3. Они образуют второй слой. Вычеркнув мысленно события 2 и 3, мы обнаружим, что без входящих стрелок остается событие 4, которое образует таким образом третий слой. Продолжая процедуру вычеркивания, получим 4-й слой — с событиями 5 и 6; 5-й — с событием 7; 6-й — с событиями 8 и 9; 7-й — с событием 10.

Очевидно, что упорядоченный график отражает последовательность событий и работ более четко и наглядно (рис. 2.8).

В сложных, «запутанных» сетях упорядочение графика является важнейшим условием для последующего анализа. Правильно составленный график всегда можно упорядочить, в отличие от графика, содержащего лишь контуры.

Каждая работа сетевого графика (кроме фиктивных) требует для своего выполнения затрат времени, трудовых и материальных ресурсов. Важнейшим этапом сетевого планирования является анализ сетевого графика по критерию времени.

Предположим, что продолжительность выполнения каждой работы может быть установлена с достаточной точностью. Обозначим на нашем графике время каждой работы в днях и запишем его над стрелками (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Анализ сетевого графика по критерию времени.

Определим ожидаемые сроки наступления каждого события. Срок наступления начального события считаем нулевым. Событие 2 наступает на 10-й день. Событие 3 — на 4-й день, 4-е событие — на 11-й день (4 + 7) и т. д. Последнее событие наступит на 51-й день.

Процесс нахождения возможных путей напоминает решение задач динамического программирования. Общий принцип оптимальности этого метода позволяет утверждать, что поэтапно найденная нами цепочка работ, определившая срок наступления конечного события, действительно является наиболее протяженным путем среди всех возможных путей данного сетевого графика. Последовательность работ между начальным и конечным событием сети, имеющую наибольшую общую протяженность во времени называют критическим путем. Критическими называют также события и работы, расположенные на этом пути. Критический путь является центральным понятием сетевого планирования и управления. Общая продолжительность всего планируемого комплекса работ определяется только работами, лежащими на критическом пути, и увеличение времени работы на критическом пути ведет к отсрочке завершения всего комплекса работ, а задержка с некритическими работами может никак не отразиться на сроке наступления конечного события. Отсюда следует важный практический вывод.

Руководители разработки должны в первую очередь уделять внимание своевременному выполненных критических работ, обеспечению их необходимыми трудовыми и материальными ресурсами. Если учесть, что в реальных сетевых графиках критические работы составляют лишь 10—15% общего числа работ, становится ясно, каким ценным орудием управления является метод критического пути в руках руководителя сложных разработок.

Заметим, что сетевой график может содержать не один, а несколько критических путей. Некритические события, не влияют на срок наступления конечного события, и для них, кроме ожидаемых сроков наступления, имеются наиболее поздние допустимые сроки наступления и имеются известные резервы времени для их выполнения.

Например, работа 4—7 вместо 4 дней может продолжаться 19 дней (30 — 11), т. е. на 15(19- 4) дней дольше. Эти 15 дней составляют свободный резерв времени. А если взять работу 6—9, то событие 9 может состояться, либо на 36-й (30 + 6), либо на 40-й (51 — 11) день. Следовательно, свободный резерв времени для данной работы составит 8 (36 — 21 — 7) дней, а максимально допустимое время выполнения этой работы составляет 19 дней (40 — 21), отсюда резерв — 12 дней. При этом сроки выполнения всего проекта не нарушатся. Итак, наряду со свободным резервом времени, равным 8 дням, работа 6—9 имеет полный резерв времени — 12 дней.

Работа 7—9 резерва свободного времени не имеет, а полный резерв составит 4 дня (40 — 6 — 30). Полные резервы времени, отличные от свободных резервов, имеют также работы 1—2 (28 — 10 = 18 дней), 2—5 (37 — 10 — 9 = = 18 дней), 4—5 (37 — 11 — 3 = 23 дня). Отличие полных резервов времени от свободных резервов состоит в том, что свободные резервы можно отсрочить или увеличить время выполнения по всем работам сети одновременно, тогда все работы становятся критическими, но сроки наступления событий не изменяются. Полные резервы времени использовать одновременно не всегда возможно. Например, полные резервы времени работ 1—2 и 2—5 составляют 18 дней, и любой из них можно использовать, но не оба вместе, иначе общая продолжительность этих работ с учетом полных резервов составит 55 дней (10 +18 + 9+18) и событие 5 наступит на 18 дней позже допустимого срока (55 — 37).

Определение резервов времени событий и работ сетевого графика имеет большое значение, как для этапа разработки и корректировки, так и в ходе выполнения проекта:

• — во-первых, в проекте могут оказаться «узкие места» с точки зрения обеспечения трудовыми или материальными ресурсами одновременно ведущихся работ;
• — во-вторых, в первоначально составленном графике общая продолжительность работ может оказаться выше директивно установленного срока. Чтобы уложиться в этот срок, нужно сократить длительность некоторых работ критического пути. Обычно эго возможно при условии привлечения на эти работы дополнительных ресурсов, а их можно высвободить за счет удлинения продолжительности работ на некритическом пути, причем вычисленные резервы времени покажут, до какого предела такое удлинение возможно. Необходимо, однако, при этом учитывать, что при увеличении продолжительности некритических работ критический путь может измениться;

в-третьих, уже в процессе осуществления проекта часто возникают отклонения от намеченных сроков выполнения работ и наступления событий. По некритическим работам и событиям фактическое запаздывание против графика может никак не отразиться на сроках выполнения всего проекта, если запаздывание находится в пределах резерва времени.

Сетевые графики, составляемые для практических целей, имеют обычно сотни, а нередко и тысячи событий и работ, которые очень сложны для анализа, так, как в них число работ намного превышает число событий. Отношение числа работ к числу событий графика называется показателем (;коэффициентом) сложности сети. Сложные сети обрабатываются на компьютерах.

Следует отметить, что наряду с составлением графиков, состоящих из работ и событий, применяется и другой принцип построения сетей — без событий. В таких сетях кружок изображает определенную работу, а стрелка — связь, зависимость работ в соответствии с их технологической последовательностью. Сетевой график «работы-связи» в отличие от графика «события-работы» обладает известными преимуществами: не содержит фиктивных работ, имеет более простую технику построения и перестройки (введение новых работ, изменение связей), включает только хорошо знакомое исполнителям понятие работы без привычного понятия события. Вместе с тем, сеть без событий получается более громоздкой, так как событий обычно меньше, чем работ. График «события-работы» обеспечивает экономию электронной памяти, что является решающим аргументом в его пользу.

Сетевое планирование в условиях неопределенности. В рассмотренном выше графике время выполнения каждой работы было точно известно, т. е. детерминировано, но в действительности это бывает довольно редко, поскольку основное направление использования сетевых методов — планирование сложных разработок, зачастую не имевших в прошлом никаких аналогий. Поэтому, продолжительность выполнения работы является неопределенной, в математическом понимании — случайной величиной. Если известен закон распределения случайной величины, то нетрудно найти две ее важнейшими характеристики: среднее значение (математическое ожидание) и дисперсию.

Однако применительно к работам сетевого графика уверенно судить о законе распределения времени конкретных работ обычно не удается. Практика сетевого планирования выработала для анализа сетевого графика со случайными длительностями работ определенную общую методику, которая рациональна и удобна, но с точки зрения строгой теории небезупречна.

Рассмотрим основные положения этой методики.

По каждой работе i—j, точную продолжительность которой установить нельзя, определяются на основании опроса исполнителей и экспертов три временные оценки:

• — оценка a_V) min времени, за которую может быть выполнена работа при самом благоприятном стечении обстоятельств (ее называют оптимистической оценкой);
• — оценка bmax времени, которое потребуется на выполнение работы при самых неблагоприятных условиях (пессимистическая оценка);
• — оценка т_1} наиболее вероятного времени выполнения работы при нормальных условиях.

Эти три оценки являются основой для расчета средней ожидаемой продолжительности работы и ее дисперсии. При этом используется гипотеза об определенном законе распределения длительностей работ (так называемое (3-распределение).

Эмпирически найдены формулы определения для каждой работы средней ожидаемой продолжительности ty и дисперсии 5^ при заданных оценках а_ф Ъ_ф т_ф

Далее процесс расчета не отличается от соответствующих расчетов в детерминированном случае. При суждении о временных характеристиках событий сетевое планирование опирается на центральную предельную теорему теории вероятности. Данная теорема утверждает, что сумма большого числа независимых случайных величин (в данном случае длительностей работ) при некоторых общих условиях имеет нормальное распределение со средним значением, равным сумме средних значений этих величин и дисперсией, равной сумме их дисперсий. Тогда можно считать, что сроки наступления событий, достаточно удаленных от начального события, имеют распределение со средним сроком и дисперсией, определяемых, но известным формулам. Правда, это утверждение предполагает о независимости случайных длительностей работ, что не всегда справедливо для конкретных проектов.

Пример 2.27.

Имеется сетевой график, где продолжительность каждой работы четко не определена, но имеются временные характеристики для каждой работы, рассчитанные по вышеприведенным формулам.

После того, как найдены продолжительности каждой работы, определяем по критическому пути время окончания всего комплекса работ.

Средний срок завершения всех работ t_k = 18,83. Он равен сумме продолжительности работ, стоящих на критическом пути. Его дисперсия будет равна сумме дисперсий длительностей тех же работ критического пути (1—3, 3—4, 4—5):

Полученная величина может быть существенна, поэтому окончательный результат, но срокам окончания работ необходимо принимать с достаточной степенью вероятности. Свойства нормального распределения позволяют определить вероятные оценки тех или иных сроков наступления. Например, в нашем случае определим, какова вероятность выполнения комплекса работ за установленный срок, равный 20 дн. Для этого вычисляется отношение разности сроков к среднему квадратическому отклонению (корню квадратному из дисперсии) и по таблицам нормального распределения находится соответствующая вероятность:

Этому относительному отклонению в таблице нормального распределения соответствует вероятность 0,821. Это означает, что имеется 82 шанса из 100, что работы будут завершены за 20 дн. или раньше и, соответственно, 18, что этот срок будет превышен.

Если установленный срок равен 21 дн., то относительное отклонение будет равно: (21 — 18,83)/1,27 = 1,71. Ему соответствует вероятность 0,956, что означает, что завершение работ за 21 день можно предсказать с большой степенью уверенности.

Аналогично можно оценить и различные сроки наступления промежуточных событий.

Различие между сетями с детерминированной и случайной продолжительностью работ не следует смешивать с различием детерминированных и стохастических сетей. Последнее различие связано со структурой самой сети. Рассмотренные сети, в которых необходимо выполнять в заданной последовательности все работы графика, являются детерминированными, хотя и имеют случайную длительность. Однако встречаются проекты, особенно при планировании исследовательских работ, на некоторых этапах которых дальнейшее содержание и порядок работ зависят от неизвестного заранее результата предшествующего события. Например, предусмотрено несколько проектов строительства предприятий разной мощности по обработке сырья в зависимости от результатов разведки запасов этого сырья. Тогда на графике от «решающего события», означающего результаты проведения разведки, отходит несколько обособленных комплексов работ, соответствующих нескольким вариантам строительства и, какой из них будет выполняться, заранее не известно, а может быть оценено с некоторой вероятностью. Такие сети называются стохастическими, и методы их анализа основываются па теории вероятности. Стохастические сети, как и детерминированные, могут характеризоваться детерминированной, либо случайной длительностью работ.

Оптимизация сетевых моделей. Существует различные сетевые графики с разным уровнем затрат и сроками исполнения работ, что позволяет говорить о возможности поиска оптимальных вариантов.

Простейший подход при этом предполагает, что по каждой работе имеются следующие данные:

нормальная продолжительность работы и соответствующая им величина затрат;

срочная (экстренная) длительность и отвечающие им затраты, которые увеличены за счет ускорения работ. Связь между ускорением работ и увеличением затрат при этом линейная: чем быстрее выполнения работы, тем больше затрат при этом используют.

Рассмотрим процесс оптимизации сетевого графика на конкретном примере.

Пример 2.28

Предполагается, что при нормальной продолжительности работы определены самые минимальные затраты на ее выполнение. Сокращение сроков продолжительностей работ возможно, но не более, чем предусмотрено в срочном варианте, иначе будет нарушена технология производства. Таким образом на графике определенная работа может иметь любую протяженность между нормальной длительностью с минимальными затратами и срочной длительностью с наиболее высокими затратами:

Исследуем сначала первый вариант графика с нормальной продолжительностью, который будем оптимизировать путем сокращения срока завершения всего комплекса работ. Оптимальный вариант — между 21 и 14 днями. Для этого надо сокращать продолжительность работ критического пути.

Из таблицы видно, что из трех критических работ, наименьший прирост затрат по работе 3—4 (15 руб/дн.). Поэтому следует в первую очередь сократить время этой работы. При срочном варианте эта работа равна 8 дн. Критический путь сократится до 17 дн., удорожание проекта составит 60 руб. Далее сокращаем работы 1—3 и 4—5 на 1 день, затраты на проект увеличатся еще на 45 руб. После сокращения на графике появляется второй критический путь: работы 1—2 и 2—5. Оба пути имеют протяженность 15 дн.

Теперь, для дальнейшего уменьшения продолжительности всего комплекса работ необходимо одновременно сокращать оба критических пути. На втором критическом пути на 1 день необходимо сократить работу 1—2, так как здесь наименьший прирост затрат равный 10 руб/дн., на старом есть возможность сократить работу 4—5 еще на 1 день, тогда общая продолжительность составит 14 дн. Дальнейшее сокращение уже невозможно по условию задачи. Затраты при этом варианте будут равны 2060 руб., что на 140 руб. больше, чем при нормальной продолжительности всех работ.

Если рассматривать срочный вариант, то затраты при этом составят 2320 руб. Данный график не оптимален потому, что в срочном порядке с наибольшими затратами выполняются и некритические работы. Увеличение продолжительности этих работ позволяет снизить общую стоимость проекта без нарушения минимального срока окончания всей разработки. Наибольшее снижение стоимости в расчете на 1 день (40 руб.) дает увеличение времени работы 1—4. Она имеет свободный резерв времени 7 дн. (12−5), поэтому вполне возможно продлить ее с 5 до 8 дн., что даст снижение затрат на 120 руб. Далее увеличиваем время работы 2—5, доведя его до 9 дн., сокращая затраты при этом еще на 120 руб. и т. д. В результате оптимальный вариант будет иметь тот же вид, что и в предыдущем случае, т. е. результаты, полученные «снизу вверх» соответствуют тем, которые были получены «сверху вниз».^[1][2]

На промышленных предприятиях теория игр может использоваться для выбора оптимального решения при создании рациональных запасов сырья, материалов, полуфабрикатов, а также в вопросах повышения качества продукции.

Пример 2.29

ООО «Слава» производит продукцию двух видов: шкафы и гарнитуры мягкой мебели, сбыт которых зависит от производства конкурирующего предприятия. Затраты на производство и сбыт шкафов составляют 6500 руб., мягкой мебели — 7000 руб., цена продажи шкафов равна 8500 руб., мягкой мебели — 10 000 руб.

По данным наблюдений, ООО может реализовать в течение месяца при одних условиях производства конкурента 500 шкафов и 300 гарнитуров мягкой мебели, а при других условиях — 400 шкафов и 400 гарнитуров мягкой мебели.

ООО «Слава» требуется составить такой план выпуска продукции, чтобы получить максимальную прибыль независимо от работы конкурента. ООО (игрок Р,) располагает двумя стратегиями выпуска продукции (А и В), конкурент (игрок Р₂) также имеет две стратегии (Си D).

Если ООО «Слава» выберет стратегию А, а конкурент — стратегию С, то вся продукция будет реализована, следовательно, предприятие получит прибыль:

Если ООО «Слава» выберет стратегию А, а конкурент стратегию D (которая противоречит условиям сбыта продукции ООО), предприятие сможет реализовать все мебельные гарнитуры, а вот шкафы будут реализованы в количестве только 400 шт. Прибыль тогда составит:

Также определяется прибыль, если ООО выбирает стратегию В, а конкурент стратегию Д не противоречащую его стратегии:

Если ООО «Слава» выберет стратегию В, а конкурент другую, противоречащую его сбыту стратегию С, при которой данное предприятие не сможет полностью реализовать мебельные гарнитуры, то прибыль составит:

На основании произведенных расчетов составим матрицу прибыли.

Вероятность попадания ООО в стратегию А обозначим как г, ав стратегию В — как (1 — дг).

Если игрок Р₍ (ООО) принимает оптимальную смешанную стратегию, то независимо от стратегии игрока Р₂ (предприятия-конкурента), он должен получить одинаковую среднюю прибыль (выигрыш):

Вывод. Оптимальная стратегия для ООО «Слава» — выпуск 454 шкафов и 346 гарнитуров мягкой мебели в год. Она позволит при любых стратегиях конкурента получить годовую прибыль в сумме около 1,49 млн руб.

• [1] Итак, для нахождения оптимального варианта можно применять дваспособа:
• [2] по принципу наименьшего приращения затрат; 2) по принципу наибольшего сокращения затрат. При ручной обработке это возможно только для простых сетей. Дляоптимизации сложных графиков применяются компьютерные решения, основанные на специальных методах линейного программирования. Математическая теория игр Математическая теория игр исследует оптимальное значение в ситуациях игрового характера. К ним относятся ситуации, связанные с выборомнаивыгоднейших производственных решений, хозяйственных взаимоотношений между предприятиями различных форм собственности, междухозяйственными субъектами и коммерческими банками. Ситуацию можно представить как игру двух, трех и более игроков, каждый из которых преследует цель получения максимальной прибыли за счетпроигрыша другого. Количество стратегий у каждого игрока может бытьконечным и бесконечным. Отсюда и игры подразделяются на конечныеи бесконечные.