Формализованное представление отношений

Параметры ФХС могут быть связаны между собой различного вида отношениями. Выделение отношений осуществляется по заранее выбранному признаку. Если нас интересует влияние параметра ФХС на производительность технологического агрегата или качество выпускаемой продукции, то данная связь может быть описана различного вида отношениями: «влияет», «не влияет» «сильно», «слабо» и др. Наиболее распространенной формой задания отношений является словесное описание.

Общепринятая формализация отношений осуществляется в соответствии со следующим определением.

Отношением R на множестве U называется подмножество R множества, определяемого декартовым произведением U X U.

Тот факт, что пара элементов (и_х, и₂) ЕВ U X U находится в отношении /?, обозначают u_xRu₂. Заметим, что существенна последовательность элементов в паре (u_lt ы₂), так как если и_х меньше и_г% то это отношение для обратного порядка элементов нс выполняется. Множество U называют областью задания отношения.

Отношения могут записываться и в виде, в котором обращается внимание на область задания отношения U, что в ряде случаев является важным.

Существует несколько форм задания отношений. Задание отношения R на множестве U может быть выполнено перечислением всех пар (м|, uj) €= U (i,/ = 1, я), для которых выполняется отношение R. Кроме того, отношения задают в виде матриц и графов. Простейшими отношениями являются такие, для которых можно четко указать, выполняются они или нет для параметров Х_г и Х₂. В таких случаях матрица отношении А — {} формируется следующим образом. Пусть область задания отношения U состоит из п элементов, тогда матрица А формируется в соответствии с правилом.

Если отношение R не выполняется строго ни для одной пары (а|, uj) U, то такое отношение называют пустым и обозначают 0. В этом случае все элементы матрицы отношения равны нулю. В противоположность пустому отношению выделяют полное, которое строго выполняется для любой пары (u_h uj) е= U. Все элементы матрицы полного отношения равны единице.

Другим примером является диагональное (или равенства) отношение. Диагональное отношение строго выполняется только для совпадающих элементов и строго не выполняется для несовпадающих элементов. Матрица диагонального отношения имеет вид.

Противоположностью диагонального отношения является антидиатональное, которое выполняется для несовпадающих элементов. В матрице антидиагонального отношения все элементы на главной диагонали равны нулю, а остальные элементы — едингце.

Указанный подход к формализации отношений между параметрами ФХС используется в тех случаях, когда можно точно указать, выполняется или нет данное отношение между параметрами.

В тех случаях, когда связи между параметрами ФХС выражепы не строго, целесообразно формализовать отпошепия в соответствии со следующим определением.

Пусть С1₁ и U₂ — универсальные множества. Если U является декартовым произведением U — U_v X U₂> то нечеткое отношение R определяется как нечеткое подмножество универсального множества U. С помощью функции принадлежности нечеткое отношение R записывается в виде.

где ц-r (i/j, и о) — функция принадлежности пары (и_х, и₂) печеткому отношению Л (или, что эквивалентно, тому понятию, с помощью которого характеризуют связь между и_х ЕЕ ?/i и и₂ €Е f/₂); знак интегрирования обозначает объединение одноточечных множеств рк (u_lf u_a)/(w_lt а₂), так же как в случае нечетких множеств.

В работе [20] приводится следующее определение нечеткого отношения.

Определение 4. Нечетким отношением Л на множестве U называется нечеткое подмножество декартова произведения UxU, характеризующееся функцией принадлежности |j.r: U X U —?[0,1]. Функция принадлежности pr (ы_х, и₂) понимается как субъективная мера или степень выполнения отношения ц₁Лцг120].

Предположим, что имеется ряд объектов В| 6 U (i = 1, л), которые расположены на различном расстоянии от объекта и₀ 6z ЕЕ U. Требуется формализовать отношение между объектами, которое характеризуется понятием «близко к и₀». В соответствии с рассмотренным выше допускаются два способа формализации данного отношения. В первом случае выделяются объекты u_t (i = = 1, /с), которые находятся точно в данном отношении. Элементам матрицы отношения, соответствующим (i = 1, А), присваивается значение единицы. Всем остальным элементам матрицы отношения присваивается значение нуль. В этом случае матрица отношения может иметь вид a_0ti (Л) = {1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0}.

Во втором случае формирование матрицы отношения выполняют в соответствии с выражением (2.14). Процедура задания значений элементов матрицы отношения аналогична первому случаю, но для объектов, которые не могут строго удовлетворять или не удовлетворять данному отношению, задается степепь выполнения отношения. При этом матрица отношения может иметь вид a_0>i (Л) = {1; 1; 0,8; 0,5; 0,2; 0; 0;0}. В данном случае достигается большая детализация рассматриваемого отношения.

Часто нечеткое отношение, характеризующее понятие «близко к», описывают выражением.

где, а — масштабный коэффициент, величина которого при решении конкретных задач может изменяться.

Некоторые авторы выделяют операции объединения, пересечения и дополнения над нечеткими отпошепиями аналогично этим же операциям над нечеткими множествами [20]. Другие исследователи, считая, что нечеткое отношение по определению (2.14) является нечетким подмножеством некоторого универсального множества, отдельно не выделяют эти операции [12]. В связи с указанной аналогией нечетких отношений и нечетких множеств авторы пе склонны отдельно рассматривать данные операции над нечеткими отношениями, однако для полноты изложения настоящего раздела перечислим эти операции, следуя работе [20].

Объединение нечетких отношений R_x и Л₂, определенных на множестве U с помощью функций принадлежности, представляется в виде.

Пересечение нечетких отношений Л_х и Л₂, определенных на множестве U, задастся следующим образом:

Дополнение нечеткого отношения R в U определяется выражением.

Говорят, что отношение Л_х включепо в отпошеиие Л, если множество пар, для которых выполняется отношение Л_1э находится в множестве пар, для которых выполняется отношение R. Так, например, отношение между параметрами х_х и х₂, характеризуемое термином «много меньше», включено в отношение, характеризуемое понятием «меньше». Отметим, что обратное утверждение может не выполняться. Тот факт, что отношение R_x включено в отношение Л, обозначают следующим образом: Л, с: Л.

Отношение Л^-1 называется обратным к отношению Л при выполнении условия u_lRu₂ <-* u₂R~¹u_l для любых и_1э и₂ (ЕЕ U. Если отношение Л является формализованным представлением понятия «меньше», то Л~¹ определяет понятие «больше».

Используя понятие нечеткого отношения, представленное в форме (2.14), нечеткое отношение Л" ¹, обратное к Л, определяют равенством (и_1э и₂) = [Lr (w_lt и₂) для любых u_L, и₂ U.

Па этапе формализации качественной информации важную роль играют отношения эквивалентности, порядка и доминирования. С помощью отношения эквивалентности могут выделяться классы свойств ФХС, которые являются в некотором смысле равноценными. Это отношение оказывается полезным для выявления в множестве первичных терминов подмножества терминов-синонимов.

Отношение эквивалентности обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Рефлексивность отношения Л обозначает выполнение Е cz Л, где Е — диагональное отношение. Данное отношение используется для формализации попятий типа «похож па», «подобен» и т. п. На главпой диагонали матрицы рефлексивного отношения стоят единицы. В понятиях типа «похож па», «подобен» выделяют свойство симметричности. Отношение Л симметрично, если выполняется Л CZ Л'¹, т. е. если выполняется связь щЕи₂, то должно выполняться г^Л"¹^. Транзитивность подразумевает то, что если параметры и_х и и₂ связаны отношением Л, а также этим же отношением связаны и₂ и и₃, то параметры u_Y п и₃ тоже связаны отношением Л. Формально данное свойство записывается следующим образом: если u_xRu₂ и м₂Ли₃, то u_xRu₃.

Наряду с рассмотренными свойствами отношений выделяют свойства антирефлексивности и асимметричности. Первое выполняется, если пересечение Я f) Е = 0, второе — при Я f] Я~¹ = — 0. По своему смысловому содержанию свойства антирефлексивности и асимметричности противоположны свойствам рефлексивности и симметричности соответственно. Отношение Я антирефлексивно, если оно выполняется для несовпадающих элементов и ЕЕ U. Отношение Я асимметрично, если не выполняется хотя бы одно из соотношений и_хЯи₂ и и₂Яи_х.

Отношение доминирования характеризуется свойствами антирефлексивности н асимметричности. Это отношение используется для формализации связей между Х_х и Х₂ в случаях, когда Х_г превосходит или предпочтительнее в некотором смысле, чем Х₂,

Частным случаем отношения доминирования является отношение порядка, для которого дополнительно выполняется свойство транзитивности. Примером отпошепия порядка является понятие «больше».

Читателю, интересующемуся другими свойствами отношений, может быть рекомендована работа [17], в которой наряду с указанными выше свойствами отношений приводится ряд дополнительных свойств и показаны примеры решения практических задач. При решении задач формализация отношений выполняется методами теории обычных множеств. В [14, 20] приведен ряд свойств отношений, при формализации которых использован подход нечетких множеств в соответствии с выражением (2.14).

В подходе нечетких множеств имеется ряд операций над нечеткими отношениями, которые пе имеют аналога для нечетких множеств, рассмотренных в предыдущем разделе. Приведем формализованное представление этих операций.

Максминное произведение нечетких отношении Я_х и Я₂₁ которые определены на множестве U> обозначается Я_х о Я₂ и задается функцией принадлежности ^мг)> вычисляемой следующим образом:

где ря, 1 (Хд, — функции принадлежности нечетких отношений Я! и Я₂ соответственно.

Например, пусть заданы два универсальных множества U_x =* = U₂ = 1+2 + 3. На множестве, определяемом декартовым произведением U_x X U₂, установлены нечеткие отпошепия Я_г и Я₂- Матрицы нечетких отношений имеют вид.

Так как нечеткие отношения заданы в матричном виде, то максминное произведение в данном случае представляет собой операцию, аналогичную умножению матриц, но вместо арифметических операций умножения и сложения используются операции нахождения минимального (Д) и максимального (V) элементов соответственно. Поэтому максминное произведение имеет вид.

Минмаксное произведение нечетких отношении и /?₂ на множестве U определяется функцией принадлежности, вычисляемой с помощью выражения.

Если нечеткие отношения и Н₂ заданы в виде матриц, то минмаксное произведение представляет собой операцию, аналогичную умножению матриц, но вместо арифметических операций умножения и сложения используются операции / и Д соответственно. Например, для исходных данных предыдущего примера мвнмаксное произведение в матричном виде равно

Максмультипликативнос произведение нечетких отношений /?,.

и /?₂, заданных на множестве ?/, определяется функцией принадлежности.

Для исходных данных примера, который иллюстрирует максминное произведение нечетких отношений, максмультипликативное произведение нечетких отношений равно

Выбор той или иной композиции (2.15)—(2.17) при решении практических задач определяется требованиями, которым должно удовлетворять решение задачи. Поэтому в каждом конкретном случае данный вопрос требует особого рассмотрения. Наряду с этим является весьма полезным изучение свойств композиций и их различное представление. В работе [11] дается интерпретация композиции (2.15) с помощью понятий проекции и цилиндрического продолжения нечетких отношений. Приведем уквзаппый апализ максминного произведения нечетких отношений.

Вначале отметим, что формализация понятия нечеткого отношения в виде (2.14) допускает следующее обобщение на случай п

универсальных множеств:

где q — последовательность индексов (г_х, г₂,.. ., i_h); q' — дополнение а:

здесь верхняя грань берется по значениям н_;-, которые входят в и"

Например, пусть заданы два универсальных множества U_l = = ^/о = 1 Ч- 2 -Н 3 + 4. На множестве, которое определяется декартовым про изведен нем U_xX U₂, задано нечеткое отпошение Л, формализующее понятие «много меньше» в виде матрицы.

где элемент (i, /) является значением ря (и_х, и₂) для г-го значения ^ui GE U_x и /-го значения и₂ еЕ U₂.

Для данного отношения найдем проекции, воспользовавшись выражением (2.18):

Нечеткое отношение fi_q в U_x X U₂ X. .. X U_n называется цилиндрическим продолжением R_q в Ui_t X Ui_t X. .. X U_ik и определяется следующим образом:

В этом случае R_q называется основанием цилиндрического продолжения R_q. На рис. 2.5 дана геометрическая интерпретация введенных понятий для случая бинарных нечетких отношений. Заметим, что цилиндрическое продолжение Л,₇ является наибольшим отношением из всех Л, которые имеют проекцию R_q% т. е.

Рис. 2.5. Геометрическая интерпретация бинарного нечеткого отношения.

Выражение (2.19) позволяет вычислить композицию нечетких отношений. Например, если — нечеткое отношение в ^ X X U₂, а /?₂ — нечеткое отношение в С/₂ X f/₃, то данная композиция позволяет вычислить нечеткое отношение Л₃ в U_x X U₃. Если t/j, ?/₂> */₃ — конечные множества, то (2.19) является максминным произведением. Отметим, что в общем случае.

Поэтому при использовании композиции (2.19) может происходить искажение информации, обусловленное незнанием нечеткого отношения R в 17_г X U₂ X ?/₃. При этом оценка /?₃ является завышенной в смысле выполнения неравенства.

Нечеткие отношения играют важную роль в формализации нечетких условных предложений, которые являются частным случаем нечетких описаний поведения ФХС.

Довольно часто состояние ФХС описывают высказываниями следующего вида:

где Л, В, С — нечеткие подмножества универсальных множеств U, V и V соответственно.

Формализация предложения (2.20) задается следующим образом:

Например, пусть имеется два параметра ФХС иб U, v Ei К* U = F = l-l-2-}-3-f-4-f-5. При анализе взаимодействия параметров и определен нечетким подмножеством Л_1э а и — Л₂:

Связь между параметрами и и v определена нечетким условным предложением (2.20). Тогда в соответствии с выражением (2.21) имеем.

где А₃ Д не низкий = ~] А_х =0/1 + 0,2/2 4- 0,4/3 4- 0,0/4 + 4* 0,8/5. Вычислим декартовы произведения, входящие в выражение (2.24), с учетом (2.22), (2.23):

По определению объединения нечетких множеств вычислим нечеткое отношение (Л₁ х Л₂) + («Mi X Л₃) = R:

Таким образом установлена связь между параметрами и и v в виде нечеткого отношения R.

Полученное нечеткое отношение R может быть использовано для вычисления величины параметра v €Е V при изменении параметра и (ЕЕ U. Для этого используют композиционное правило вывода, которое является весьма важным для приложения. Значение этого правила для решения практических задач заключается в следующем.

Если связь между параметрами ФХС задана в виде нечеткого отношения R, и величина входного параметра и е= U определена нечетким подмножеством Л, то величина выходного параметра г; 6Е V может быть вычислена с помощью композиции.

При вычислении композиции (2.25) могут быть использованы операции над нечеткими отношениями, рассмотренные ранее, а именно, максмшшос, минмаксное и максмультипликативное произведения. Кратко повторим рассуждения, обосновывающие применение максмипного произведения.

Пусть А — нечеткое подмножество универсального множества U_l9 R — нечеткое отношение в^х U₂. Тогда, образуя цилиндрическое продолжение нечеткого подмножества Л, которое определяется равенством.

найдем пересечение Л Q R:

Спроектируем множество A f] R на универсальное. множество U₂. Получим следующее:

Эта проекция полностью совпадает с максминным произведением нечетких отношений (2.15).

Необходимо отметить, что при использовании максминного произведения необходима проверка на согласованность нечеткого подмножества Л с нечетким отношением R. Это обусловлено тем, что для нахождения нечеткого отношения R используется конкретная реализация нечеткого подмножества, в то время как данная композиция в общем случае применяется для других нечетких подмножеств, которые формализуют поведение входного параметра. С аналогичной задачей встречаются при оперировании статистической информацией и построении регрессионных моделей. В этом случае также возникает вопрос, насколько справедлива регрессионная модель при достаточно сильном изменении входных параметров по сравнению с экспериментальными данными, на основании которых строилась модель.

Композиционное правило вывода является в известном смысле обобщением правила логического вывода modus ponens. В булевой алгебре связь между логическими переменными и, v может быть задана отношением w есть, если Л, то В, иначе С" при условии, что и присвоено значение А. Формализация этого отношения имеет вид (Л f| jS) U (^—А П ОВ этом случае при заданном и величина и находится как Л (J (Л П 5) U (1 А П О =^. что проверяется с помощью следующего правила: Л = 1 =#>/? = 1 или Л = О =ф С = 1.

Одним из этапов процедуры построения математической модели с использованием подхода нечетких множеств является формирование множества условных предложений вида (2.20), которыми описывают в лингвистической форме рассматриваемый процесс или явление. Можно выделить три возможных подхода, направленных на реализацию отмеченного этапа. Подчеркнем, что при моделировании реальных технологических процессов комбинация этих подходов, видимо, должна быть наиболее эффективна.

Первым из этих подходов является использование качественных представлений о моделируемом процессе для записи необходимого множества условных предложении. Вторым — нечеткая интерпретация существующего математического описания. Это определяется тем, что результаты, получаемые с помощью достаточно сложных моделей, носят качественный характер и отражают наиболее выраженные, характерные особенности изучаемого процесса. Третьим — использование процедуры идентификации на основе последовательности данных текущих измерений [38]. Рассмотрим последний подход подробнее.

Процедура идентификации множества условных предложений, называемых иногда правилами, может быть применена после того, как определена структура модели и формализованы все используемые нечеткие термины. В данном случае под структурой модели понимается множество рассматриваемых при моделировании входных и выходных переменных. Сущность процедуры идентификации условпых предложений состоит в выборе из последовательности серий квантованных значений входных и выходных переменных некоторого подмножества. Характерным является то, что для каждого значения любой серии упомянутого подмножества найдется термин с единичной степенью принадлежности. Каждая такая серия позволяет идентифицировать одно правило лингвистического описания. Для иллюстрации рассмотрим дискретную Таблица 2.3. Значения функций степеней принадлежности множествам, формализующим термины для переменных */(/) и дг (/).

Таблица 2.4. Идентификация условных предложений по результатам текущих измерений.

по времени систему с одним выходом у (?) и двумя входами у (t — 1) и х (t — 1), где у (t — 1) — значение выхода в предыдущий момент времени. Формализация терминов, которые характеризуют уровень используемых переменных, представлена в табл. 2.3. Способы формализации первичных терминов см. в разд. 2.3.

Последовательность серий данных об уровне входных и выходных переменных в различные моменты времени приведена в табл. 2.4, которая по существу отражает всю описываемую процедуру. Отметим, что символом Q обозначена операция квантования, т. е. замены значения переменной соответствующим элементом заданного универсального множества. На основании серии данных идентифицируются условные предложения. Нанример, для значений переменных из серин, полученной в момент времени.

t — 4, и данных табл. 2.3 имеем равенства: р_малый {.

f¹ Передний {Q [у (t — 1)]} = 1, [Средний W I,!/ (01} ⁼ ^.

1аким образом, рассматриваемая серия позволяет идентифицировать следующее условное предложение:

«Если х (? — 1) — малый и если у (t — 1) — средний, то у (i) — средний».

Приведенная последовательность данных позволяет из 27 возможных правил идентифицировать пять различных, иричем одно повторяется дважды (при t = 4 п? — 11), а два находятся в противоречии (при? = 8 и? = 16). Полученные правила представим в виде, показанном в табл. 2.5. Элементарное правило заполняет в такой таблице одну ячейку, а составное —- несколько, находящихся в одной строке или столбце. Очевидно, что множество полученных в примере правил по является полным лингвистическим описанием моделируемой системы, что видно из табл. 2.5, так как имеются незаполненные ячейки. Этот факт говорит о том, что рассмотренные последовательности данных не являются достаточными для полного лингвистического описания. В этом случае еле-' дует либо изучить дополнительные последовательности, либо воспользоваться другим подходом для получения недостающих условных предложений.

Особый интерес представляет случай выявления противоречивых условных предложений. Противоречия эти могут возникать как из-за зашумленности измерений, так и по другим причинам. Они могут быть результатом некорректности выбранной структуры модели, ошибок, возникающих при квантовании получаемых данных. Эти противоречия должны быть устранены.

Приведем несколько примеров использования рассмотренного метода идентификации условных предложений, что необходимо для анализа возможностей подхода и его специфики.

Пример 1. Пусть последовательность данных генерируется по соотношению.

где у (?) — выходная переменная, х (? — 1) — входная переменная, z (?) — помеха.

Рассматривалось 500 серий данных, которые последовательно вычислялись начиная с момента времени t — 0, причем у (0) = 0. Диапазоны изменения всех переменных квантованы на 13 уровней.

Таблица 2.6. Формализация терминов лингвистического описания к примеру 1.

Таблица 2.7. Лингвистическое описапио зависимости выходной переменной у (?) ог х (t — 1) и у (t — 1).

Каждая переменная может описываться семью терминами. Б табл. 2.6 приведены указанные характеристики, а также формализацпя терминов нечеткими множествами. Термины в табл. 2.6 записаны в сокращенном виде: ОБ — отрицательно большой, ОС— отрицательно средний, ОМ — отрицательно малый, Н — нулевой, ПМ — положительно малый, ПС — положительно средний, ПБ — положительно большой. Число возможных элементарных правил в этом примере составляет 7³ = 343, но для построения полного.

и непротиворечивого лингвистического описания необходимо 7² = 49 условных предложений.

Обработка упомянутых 500 серий данных позволила идентифицировать 170 элементарных правил, нз которых только 44 оказались различными. Результаты иллюстрируются табл. 2.7, из которой видно, что 8 ячеек определяют правила, находящиеся между собой в противоречии, а 17 незаполненных ячеек указывают на неполноту полученного лингвистического описания. В этом случае необходимо устранить возникшие противоречия и дополнить полученное описание. Если исключить противоречивые ячейки, что показано в табл. 2.8, то лингвистическое описание может быть представлено десятью правилами, которые для данного примера имеют вид:

Наряду с рассмотренным противоречия могут быть устранены включением в искомое множество наиболее часто встречающихся правил, которые заполняют «конфликтную» ячейку. Применяя.

Таблица 2.10. Полное лингвистическоэ описание зависимости выходной переменной у (t) от x (t— 1) и j/(t—1).

Уровень пе;

Уровень переменной х (t — 1).

такой способ подучим множество условных предложений, в которых отсутствуют противоречия. Это мпожество иллюстрируется табл. 2.9 и может быть записано 12 правилами. Табл. 2.10 отражает полное лингвистическое описапие, полученное дополнением рассмотренного. Дополнение было возможно благодаря анализу всей последовательности из 500 серий данных.

Пример 2. Найдем лингвистическое описание объекта с запаздыванием. Исходная последовательность данных генерировалась в соответствии с выражением у (t) = х (? — 3) и представляла собой 200 серий значений входной и выходной переменной. Уровни квантования, используемые термины и их формализация печеткими множествами совпадают с примером 1.

Задача состоит в определении времени запаздывания выхода по отношению к входу и идентификации множества совместимых правил лингвистического описания. Результаты анализа исходных данных, который выполнен с целью определения времени запаздывания, приведены в табл. 2.11. Элементы матриц в табл. 2.11 характеризуют частоту выявления соответствующих условных предложений при анализе исходной информации для времени заТаблица 2.11. Матрицы частот определения условных предложении в примере 2.

паздывания, равного 1, 2, 3, 4, 5. Из приведенных результатов видно, что связь между у (t) ид (t — 3) оказывается наиболее выраженной. Таким образом, выход системы отстает, но отношению к входу на 3 шага. В данном случае, что также видно из табл. 2.11, полученное лингвистическое описание полно и не имеет противоречий.

Пример 3. Проиллюстрируем процедуру идентификации структуры динамической модели системы, характеризуемой переменными x{t) и y (t). Использовалась последовательность серий измерений из 296 пар. Выявление множества условных предложений, составляющих лингвистическое описание поводення системы, проведено 11 раз для следующих структур:

Результаты идентификации лингвистических описаний для указанных структур приведены в табл. 2.12. Полученные результаты показывают, что наименее противоречивые описания у зависимостей между у (t) и x{t — к), где к = 4, 5, 6, а также у зависимостей между у (J) и у (t — п) при п = 1,2. Исходя из рассмотренного целесообразно в качестве окончательной структуры принять следующую:

Однако если рассматривать данную структуру в целом, то количество элементарных правил для иолного лингвистического описания системы составит около 1,5* 10^е. Такое число правил затрудняет их использование. Ограничиваясь наиболее значимыми переменными, рассмотрим три более простые структуры:

Оценка полученных лингвистических описаний для последних трех структур показана в табл. 2.13. Отметим, что сопоставление полученных лингвистических описаний с поведением моделируемой динамической системы дало наименьшие расхождения для структуры {х (t — 4), у (t — 1), у (0}" которая выбрана в качестве окончательной.

Наряду с логическим способом оценки нечетких отношений, который заключается в формализации нечетких условных предложений вида (2.20), используются и количественные методы. Один из таких методов основан на применении рекуррентной процедуры оценивания [21]. В этом случае предполагается, что по мере поступления новой информации с объекта должна уточняться ранее полученная оценка. Это уточнение должно учитывать динамические свойства ФХС.

Таблица 2.12. Матрицы частот определения условных предложений в примере 3.

Для формализации такого способа оценки нечетких отношений может быть использована любая детерминированная монотонная функция, которая удовлетворяет требованию: положительным значениям аргументов должны соответствовать положительные значения функции. Динамика процесса оценивания должна определяться выбором надлежащей динамической последовательности таких функций. Примером стратегии последовательного оценивания нечетких отношений при поступлении новой информации является следующее правило, называемое правилом комбинирования:

где рд, * (а, у) и р_л, х-i (я, у) — функции степеней принадлежности нечеткого отношения R на к-м и (к—1)-м шагах оценивания; р_д, ц (#, у yt) — функция степеней принадлежности, построенная на основании новой информации, которая получена для &-го шага оценивания в виде последовательностей {*<} и {г/*}; s — параметр динамики комбинирования, называемый также множителем разделения.

Операция комбинирования может иметь несколько форм, в частности:

Обычно после применения операции комбинирования требуется выполнить нормирование: i_R (х, у) = [а^ (я, у)!max [|л_я (х, у)].

Параметр s может принимать значения из отрезка [О, 1J и отражает паличие связи предыдущего состояния системы с последующим. В случае, если инерционность ФХС значительна, тепденция изменения s должна быть от ½ до 1. При малой инерционности системы правило комбинирования даст оценку не абсолютного значения нечеткого отношения, а относительного, т. е. с учетом относительного изменения получаемых в различные моменты времени оценок. Данное свойство может оказаться полезным при построении адаптивных систем управления технологическими процессами.